komplexe Gleichung z^4 + 1 = Wurzel aus (3i) lösen

Question

Lineare Algebra 2 Aufgabe 5.

5. Lösen Sie die komplexe Gleichung z^4 + 1 = Wurzel aus (3i)

Answer 1

Schau dir mal an wie Wolframalpha solche Sachen löst:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E4%2B1%3D√%283i%29

Comments

Etwas wie \(\sqrt{3\mathrm i}\) ist allerdings nicht eindeutig definiert.

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\( \sqrt{3i} \) hat zwei Lösungen, oder?

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Nicht "Lösungen", ich würde eher "Werte" sagen. Die Gleichung \(z^2=3\mathrm i\) hat zwei Lösungen. Die Wurzelfunktion kann man als mehrwertige Funktion auf \(\mathbb C\setminus\{0\}\) definieren, aber eben nur als mehrwertige.

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Die Wurzelfunktion bildet also ab

\( ^n \sqrt{\ } : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}^n \).

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Nein, nein, das ist keine Funktion mehr im eigentlichen Sinne, die einem Wert genau einen Wert im Bildbereich zuweist. Sie weist einem Wert gleich zwei andere (in \(\mathbb C\)) zu. Wenn du es formaler haben möchtest, kannst du die Wurzel auf einer Riemannschen Fläche definieren.

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Okay! Was muss ich zuerst tun?

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Man kann die Werte auch in Äquivalenzklassen überführen und erhält eine (lokal differenzierbare) spezielle Topologie, die nicht singulär im Ursprung ist.

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die lösung ist so mit z_1 bis z_4 mit e hoch ewas