Extremwert Seitenlänge von einbeschriebenem Rechteck.

Question

Gegeben ist eine Ellipse mit den halbachsen a und b. In diese Ellipse wird ein Rechteck mit den Seiten 2x und 2y geschrieben. 

Welches Rechteck hat in der Ellipse den größten Flächeinhalt? Bestimmen Sie dafür die Seitenlänge des Rechtecks. 

Danke

Comments

Vgl. auch "ähnliche Fragen" https://www.mathelounge.de/40084/extremalwertaufgabe-halbachsen-rechteck-einzubeschreiben 

Answer 1

siehe hier:

http://www.math.uni-leipzig.de/~wuschke/uploads/pdf/Aufgabensammlung.pdf

(Aufgabe 18.120)

oder :

http://www.mathematische-basteleien.de/extremwert.htm

(Aufgabe 13)

Answer 2

Angenommen die Halbachse a liege auf der x-Achse,dann liegt b auf der y-Achse (a>0,b>0) und die Ellipsengleichung lautet: (x/a)²+(y/b)²=1. Aufgelöst nach y:  y=±b/a·√(a²-x²) Wir wählen (x|y) im  ersten Quadranten. Das Rechteck hat die Fläche F(x)=4xy=4bx/a·√(a²-x²). Ableitung F'(x)=4b(a²-x²)/a-4bx²((a(a²-x²)). Die Ableitung hat im 1.Quadranten die Nullstelle x_N=a√2/2. Diese eingesetzt in F(x) ergibt F(a√2/2)=2ab.