Differenzieren Sie f mit der Produktregel. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit einer weiteren Methode.

Question

Aufgabe:

Produktregel

Differenzieren Sie f mit der Produktregel. Kontrollieren Sie das Ergebnis mit einer weiteren Methode.

a) \( f(x)=x\left(1+x^{2}\right) \)
b) \( f(x)=\sqrt{\mathrm{x}} \cdot \sqrt{\mathrm{x}} \)
c) \( f(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(2 x^{2}+5\right) \)
d) \( f(x)=a x\left(a x^{2}+b\right) \)
e) \( f(x)=\left(x^{2}+1\right) \cdot \frac{1}{x} \)
f) \( f(x)=\sqrt{x} \cdot x \)

Answer 1

2a)

Die Produktregel lautet:

y' =u' v +u v'

u= x  ; v= 1+x^2

u ' = 1 ;v ' =2x

->y '= 1 *(1+x^2) + x *2x

y '=1+x^2  +2 x^2

y '=1 +3 x^2

Comments

Dann noch den zweiten Aufgabenteil: mit einer anderen Methode:

f(x)=x•(1+x²)

f(x)= (x•1)+(x•x²)

f(x)=x+x³

f´(x)=1+3x²

Answer 2

2c ) wenn man f(x) in der Form u(x) * v(x) sehen möchte, ist 

u(x) = x² -1   und  v(x) = 2x² +5   

Dann hast du  u ' (x) = 2x    und  v ' (x) = 4x  

Und wenn du das in die Formel u*v' + v*u' einsetzt bekommst du

f ' (x) = (x² -1 ) * 4x + (2x² + 5 ) * 2x 

jetzt noch die Klammern auflösen und zusammenfassen gibt 

f ' (x) = 8x³ + 6x .

Das Entsprechende schaffst du bei a) sicher alleine.

Gib es mal durch !