lineare Unabhängigkeit in R^3: Dreieckspyramide - In welchem Verhältnis teilt S die Strecke OS?

Question

Kann das jemand lösen? Ich bin für jede hilfreiche Antwort dankbar.

Gegeben sei eine Dreieckspyramide OABC. OAB sei die dreieckige Grundfläche mit S_(1) als Schwerpunkt des Dreiecks. ABC sei eien dreieckige Seitenfläche mit S_(2) als Schwerpunkt. Die Raumdiagonale CS_(1) und OS_(2) schneiden sich im Schwerpunkt S der Dreieckspyramide. In welchem Verhältnis teilt S die Strecke OS_(2)?

Comments

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Answer 1

Die Darstellung der Ortsvektoren s₁ = (a+b)/3 und s₂=(a+b+c)/3 durch

die Ortsvektoren der Ecken ABC hast du ja sicher schon.

Dann gilt für die Punkte P auf der Geraden OS₂ :

  Es gibt ein x∈ℝ mit    p = x*OS₂ = x*(a+b+c)/3

auf der anderen Geraden CS₁ : 

                    p = c + y*( s₁ - c) =c + y*( (a+b)/3 - c)

                                                 = c + y* (a+b-3c)/3  

Ein Punkt auf beiden Geraden erfüllt also die Bedingung:

  Es gibt  x,y∈ℝ mit   x*(a+b+c)/3 = c + y* (a+b-3c)/3

umgeformt zu 

(x-y)/3 * a  +  ( x - y)/3* b  + ( x/3 + y - 1 ) * c = 0 

Da die Vektoren a,b,c lin. unabh. sind 

==>   x-y/3 = 0     ∧   x/3 + y - 1 = 0 

==>   x = y = 3/4 

Also ist 0S  gerade 3/4 von der Strecke 0S₂ ,

teilt sich also im Verhältnis 1 : 3 .