Wie bestimmt man die Umkehrfunktion und daraus y0 = f(x0)

Question

Ansatz: y = arcsin(ln x/10)

Also, wie muss man vorgehen um das zu berechnen. Wäre nett, wenn ihr mir da helfen könntet :)

Und gibt es nur eine Lösung?

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Bitte Text nicht nur als Bild eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Verstehst du die Antwort von Bruce Jung nicht mehr?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=arcsin(ln(x%2F10))

Blau in den WA Graphen der Realteil. Rot der Imaginärteil .

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Also sind die Werte -1 und 1?

Answer 1

Hi,

um den Definitionsbereich zu bestimmen, überlege dir welche Werte für \(x\) du in den Logarithmus einsetzen darfst. Anschließend musst du schauen welche Werte in der Klammer des Arkkussinus stehen dürfen.

Der Wertebereich ist die Menge die du durch einsetzen des Definitionsbereich in die Funktion erhältst.

Dein Ansatz für die Umkehrfunktion ist korrekt. Nun musst du den Arkussinus, d.h. \(\arcsin\), auf der rechten Seite wegbekommen.

\( \begin{aligned} y&=\arcsin(\ln(\frac{x}{10})) \\ \sin(y)&=\ln(\frac{x}{10})\end{aligned}\)

Was ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus? Diese musst du nun anwenden.

Die Lösung der angegebenen Gleichung hast du dann auch sofort.

Um zu schauen, ob es noch eine weitere Lösung gibt, schaue dir mal den Graph des Arkussinus an. Dort siehst du schon mal die Antwort. Das musst du nun nur noch mathematisch begründen.

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Definitionsbereich ist doch IR, oder? -> [0, oo] 

Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus ist e^{x/10} ?

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Leider ist der Definitionsbereich nicht korrekt.

Frage: Für welche Werte ist der Logarithmus definiert? Für welche Werte ist der Arkuskosinus definiert?

Die Umkehrfunktion des Logarithmus ist die Exponentialfunktion (ohne diese durch 10). Du musst also die Exponentialfunktion auf beiden Seiten der Gleichung anwenden.

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Wertebereich von ln ist IIR.

Und von arcsin : Def:[-1, 1]; Wertebereich [-pi/2, pi/2]

Und, muss ich dann einfach e^{x/10}= e^sin(y) => du sagtest auf beiden Seiten.

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Der Definitionsbereich des Logarithmus ist \(\mathbb{R}^+\), also alle positiven reellen Zahlen. Der Definitionsbereich des Arkussinus ist korrekt. Du musst also schauen, für welche \(x \in \mathbb{R}^+\) gilt: \(ln(\frac{x}{10}) \in [-1,1]\).

Auf beiden Seiten ist korrekt, aber du erhältst: \(e^{ln(\frac{x}{10})}=e^{sin(y)}\)

Die Exponentialfunktion ist die Umkehrfunktion des natürlichen Logarithmus, weswegen \(e^{ln(\frac{x}{10})}= \frac{x}{10}\) gilt.

Du hast also nun: \(\frac{x}{10}=e^{sin(y)}\)

Wie geht es weiter?

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ehhm x = 10e^sin(y)

Sollte ich den x Wert herausfinden? :D

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Ja, du solltest die Gleichung nach \(x\) umstellen. Nun ist deine Umkehrfunktion \(g(y)=10 \cdot e^{sin(y)}\).

Wendest du deine Umkehrfunktion auf deine Funktion ausgewertet an \(x\) an, so erhältst du wieder \(x\), d.h. \(g(f(x))=x\). Das ist eine Eigenschaft der Umkehrfunktion. Diese Eigenschaft steckt schon im Namen drin, da du, wenn du die Umkehrfunktion auf deine Funktion anwendest, du das, was deine Funktion getan hat, wieder umkehrst.

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Danke für die Antwort, aber kann man nicht als ersten Zwischenschritt schreiben 

sin(ln(x/10)) ? Und ist sin(ln(x/10)) genau dasselbe wie sin(y) = ln(x/10) 

Also, wollte wissen ob es wirklich genau dasselbe ist..

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Bitteschön 

Dann müsstest du ja zwei mal den Sinus anwenden. Dann hättest du

$$\sin(\sin(y))=sin(ln(\frac{x}{10}))$$

da stehen. Würde dir aber nichts bringen.

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Sry, dass ich dich jetzt noch anschreibe, aber die ganzen Lösungen sind doch(zweiter Aufgabenabschnitt) 1 und -1?

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Hi, macht nichts. Verstehe leider nur nicht welche Lösungen du meinst. Meinst du den Teil mit "eindeutige Lösung $$y_0=f(x_0)$$"?

Answer 2

y = arcsin ( ln (x/10))
Umkehrfunktion
x = arcsin ( ln (y/10)) | sin
sin ( x) = ln ( y / 10 ) | e hoch
e hoch sin ( x) = y / 10
y = 10 * e ^{sin[x]}

f ^{-1} = 10 * e ^{sin[x]}

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und wie bestimmt man daraus jetzt y0  und die weiteren Lösungen?

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Deine Anfrage ist ja schon etwas länger her.
Fangen wir am Anfang an.
Gehen wir schrittweise vor.

Zuerst der Definitions- und Wertebereich von f.

Hier der Graph von f

Soweit verstanden ?
Nachfragen oder es geht weiter.

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Was meintest du damals mit " ... es geht weiter" ?

Sry, dass ich erst jetzt nachfrage.

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welche Frage hast du ?