Resubstitution mit x^6-Funktion.

Question

f(x)=-x^6+32x^2-6

Kann man da auch resubstituieren mit

z^2=x^6

und dann:

f(z)=-z^2+32z-6

Ich könnte mir vorstellen, dass man am Ende statt der 2. Wurzel die 3. Wurzel aus dem Ergebnis ziehen muss...

LG

EDIT: Gesucht: " Extremstellen & Nullstellen "

Comments

1. ist deine Substitution falsch
x^3 = z
x = ???

2. Da steht nur eine Funktion.
Was soll ermittelt werden.
Nullstellen / Extrempunkte ???
Was soll die Aufgabe sein?

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Extremstellen & Nullstellen

Answer 1

Hallo Anton

z = x^2
z^3 = (x^2)^3 = x^6

f(x) = -x^6 + 32x^2 - 6 ==> f(z) = -z^3 + 32z - 6

Die Nullstellen von f(z) könntest mit dem Newtonverfahren finden.
Das Newtonverfahren könntest du auch direkt auf die Funktion f(x) = -x^6 + 32x^2 - 6 anwenden.
Wenn du aber Substitution / Resubstitution üben möchtest, berechne die Nullstellen von f(z) und resubstituiere anschließend.

Grüße

Comments

Danke,

Aber vorab gucke ich mir die Cardano-Formeln an

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Muss ich, um die z^3 Funktion zu lösen, die Cardano-Formeln anwenden

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Nein, musst du nicht. Du kannst auch das Newtonverfahren anwenden. Wie Du möchtest.

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Ja, Newtonverfahren kann ich aber schon...

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> Muss ich, um die z3 Funktion zu lösen, die Cardano-Formeln anwenden.

Manchmal verstehe ich deine Nachragen nicht!

In meiner Antwort steht doch klar:

Hier kannst du das Newtonverfahren (Näherungslösungen in ℝ)  oder die Cardano-Formeln anwenden. 

Bei Letzteren ergeben sich die genauen Lösungen (reell und komplex).
Die Rechnung ist allerdings etwas lästig :-)

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Ja, Newtonverfahren kann ich aber schon...

Dann nimm ein anderes Verfahren deiner Wahl.

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Besser formuliert:

Kann ich abgesehen vom Newtonverfahren und den Cardano-Formeln noch andere Lösungswege verwenden?

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Es gibt noch andere Näherungsverfahren, aber wenn du das NV schon kannst, macht das für dich wenig Sinn. 

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Okay habe durch das Newtonverfahren alle Nullstellen ermittel (gefühlt 100 seiten Rechnungen)

x1,2=±2.358

x3,4=±0.434

Jetzt noch die Extremstellen....

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Um die Extremstellen zu ermitttel, muss ich doch die Nullstellen der abgeleiteten Funktion, in die Ausgangsfunktion einsetzen, oder?

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Das hast du gut gerechnet.

Mein Rechner ermittelt die reellen Nullstellen: 

x_1,2  ≈  ± 0.4332512845  ≈ ± 0,433   (Rundung)  

x_3,4  ≈  ± 2.358106175 ≈ ± 2,358 

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Du brauchst die Nullstellen der ersten Ableitung, die du dann auf Minima/Maxima untersuchen kannst. SIehe z.B. hier https://www.mathebibel.de/extremwerte-berechnen

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Oh man, also muss ich jetzt von 

f'(x)=-6x^5+64x 

Wieder die Nullstellen per Newtonverfahren ausrechnen?

Und muss ich jetzt die Ableitung der Ableitung nehmen, um das Newtonverfahren anzuwenden.

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Also:

f'(x)=-6x^5+64x

f''(x)=-30x^4+64

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Oh man, also muss ich jetzt von f'(x)=-6x^5+64x  Wieder die Nullstellen per Newtonverfahren ausrechnen?

Nein musst du nicht, das geht doch einfacher. In jedem Summanden kommt ein x vor, das kannst du ausklammern und dann den Satz vom Nullprodukt anwenden.

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Und muss ich jetzt die Ableitung der Ableitung nehmen, um das Newtonverfahren anzuwenden.

Nein. Lies dir ruhig die Seite mal in Ruhe durch, welche Möglichkeiten es gibt.

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Satz vom Nullprodukt:

f'(x)=-6x^5+64

-6x*(x^5+10.66666666667)=0

x1=0

x^5=10.66666666

Muss ich daraus jetzt die 5. Wurzel ziehen oder was..

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-6x^5 + 64x = 0
x(-6x^4  + 64) = 0

x₁ = 0
-6x^4  + 64 = 0
...

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Ich verzweifle, kannst du es mir verraten?...

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6x^4 = 64
x_2,3 = ±⁴√(64/6)

Jetzt haben wir drei Nullstellen der ersten Ableitung von f.
Wie geht's weiter?

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Extremstellen:

x1=0

x2,3=±1.81

f(x)=-x^6+32x^2-6

f(0)= -6

f(±1.81)=-(±1.81)^6+32*(±1.81)^2-6=63.67

Maximum:

(1.81|63.67)

Minimum:

(0|63.67)

Danke, den Satz vom Nullprodukt werde ich wohl lernen müssen.... *seufz*

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Die Extremstellen stimmen, die Funktionswerte des Minimums und der beiden Maxima auch. Aber: Die Extremstellen in die Funktionsgleichung f einzusetzen, ist leider kein Beweis dafür, dass an der Stelle x1 = 0 tatsächlich ein Minimum und an den Stellen x2,3 = ±1.81 Maxima sind!

...den Satz vom Nullprodukt werde ich wohl lernen müssen.... *seufz*

Seufze nicht, der Satz vom Nullprodukt ist Dein Freund. ;)
Der Satz vom Nullprodukt hilft oft Berechnungen deutlich einfacher zu machen, ohne dessen Kenntnis du die PQ-Formel, die cardanischen Formeln, das Newton-Verfahren oder sonst was benutzen müsstest.

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Die Extremstellen stimmen, die Funktionswerte des Minimums und der beiden Maxima auch.

Puuh, Gott sei dank, die Aufgabe hat ja Ewigkeiten gedauert zum Lösen. Wenn ich dabei bedenke, wie manche Menschen, die Lösungsverfahren herausgefunden haben wird mir schwindelig..

Danke für die, wie immer, ausgezeichnete Hilfe.

Ebenso an Wolfang.

LG

Answer 2

Hallo Anton,

mit der Substitution z = x³ erhält man ja

-z² + 32z - 6=0

⇔  z^3 - 32z + 6 = 0  

Hier kannst du das Newtonverfahren (Näherungslösungen in ℝ)  oder die Cardano-Formeln anwenden:

Bei Letzteren ergeben sich die genauen Lösungen (reell und komplex).

Die Rechnung ist allerdings etwas lästig :-)

Gruß Wolfgang

Comments

Schaut interessant aus. Gucke ich mir mal an, danke!

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Die Diskriminate *D* bekomme ich, wenn ich (p/3)^3+(q/2)^2 rechne?

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Ja, so wie es in dem Bild steht. Wie gesagt, die Rechnung ist etwas lästig (man benutzt dabei auch komplexe Zahlen)

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Dad wäre jetzt z1??

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Irgendetwas ist da falsch eingegeben, mein Rechner gibt die Lösungen

z ≈ 0.1877066755  ∨  z ≈ 5.560664736 ∨ z ≈ - 5.748371412 

an.

Wolframalpha auch: 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z%5E3-32z%2B6%3D0

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Aber Input von Wolframalpha zeigt doch die richtige Rechnung.... Wie soll ich es sonst eingeben..

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Wie kommst du auf  √4105 ?

D = (p/3)^3+(q/2)^2  = (-32/3)³ + 6^2  =  - 32525/27 ≈ -1177,63

Und dann musst du mit  √( - 32525/27)  - also mit komplexen Zahlen - weiterechnen, was du wahrscheinlich nicht kannst.

³√(- 6/2 + √((-32/3)^3 + (6/2)^2))^{1/3} + ³√(- 6/2 - √((-32/3)^3 + (6/2)^2))

ergibt die Lösung  x₁  ≈  5.560664736  

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Ich komme auf 1222.63..... für D

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Ich hasse es keinen Taschenrechner dabei zu haben....

Auf den ist wengistens verlass.

Answer 3

Substituiere

x^2=z

--->

-z^3 +32z -6=0

Comments

Muss ich dann den Satz vom Nullprodukt anwenden?

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                                          nein ,

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Ableiten?

f(z)=-z^3+32z-6

f'(z)-3z^2+64

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hast Du diese Aufgabe erfunden?

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Ja, wollte mal schauen wie die Mathematik solche Aufgaben löst.