Ableitung von \(\ln x\) ist \(\frac{1}{x}\).
Man könnte deshalb meinen, Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) wäre \(\ln x\).
Aber \(\frac{1}{x}\) hat \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) als Definitionsbereich. Und die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) sollte deshalb auch \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) als Definitionsbereich haben.
\(\ln x\) hat aber nur das Intervall \((0,\infty)\) als Definitionsbereich.
Glücklicherweise ist \(\frac{1}{x}\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb ist \(\ln(-x)\) Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) für \(x < 0\).
Mit den Betragsstrichen sorgt man dafür, dass \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) der Definitionsbereich der Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist.