Integral von cotangens berechnen. Betragsstriche bei Resubstitution

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie folgendes Integral:

\(\int \limits_{\pi/4}^{\pi/2}cot(x)dx\)

Problem/Ansatz:

cot = cos/sin

durch Substitution: u = sin(x)

\(\int \limits_{\pi/4}^{\pi/2}\frac {cos(x)}{u} *\frac {du}{cos(x)}=[ln(u)]\)

Nach diesem Schritt würde ich nun wieder resubstituieren:

\(ln(|sin(x)|)\)

Wieso müssen hier die Betragsstiche hin? Das verstehe ich nicht ganz!

Habe das dann einfach ohne Betragsstriche gerechnet und kam dann auf die Lösung. Aber sowohl beim Integralrechner und im Internet habe ich gesehen, dass hier Betragsstriche um den Sinus gemacht werden. Könnte mir jemand dies erklären?

Vielen Dank

Grüße jsmileman

Answer 1

Ableitung von \(\ln x\) ist \(\frac{1}{x}\).

Man könnte deshalb meinen, Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) wäre \(\ln x\).

Aber \(\frac{1}{x}\) hat \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) als Definitionsbereich. Und die Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) sollte deshalb auch \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) als Definitionsbereich haben.

\(\ln x\) hat aber nur das Intervall \((0,\infty)\) als Definitionsbereich.

Glücklicherweise ist \(\frac{1}{x}\) punktsymmetrisch zum Ursprung. Deshalb ist \(\ln(-x)\) Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) für \(x < 0\).

Mit den Betragsstrichen sorgt man dafür, dass \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) der Definitionsbereich der Stammfunktion von \(\frac{1}{x}\) ist.

Comments

Danke Dir oswald!