Exponentialungleichungen lösen!?

Question

Hey:) Könntet Ihr mir bei diesem Beispiel helfen?

Die Bevölkerung einer Stadt ist von 2002 bis 2011 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2007 hatte die Stadt 42000 Einwohner, im Jahr 2011 hatte sie 50000 Einwohner. wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

A) Wie viele Einwohmer wird die Stadt im Jahr 2015 haben?
B) Wann wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner haben? (Zähle die Jahre von 2002 an!)

Bitte mit vollem Lösungsweg! 

Answer 1

Mit dem vollen Lösungsweg werde ich nicht dienen. Selbst ist der Mann/Frau

Mach für das Bevölkerungswachstum den Ansatz

$$ B(t) = B_0 e^{\lambda t } $$ und setzte die bekannten Daten ein. Dann bekommt man ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten für \( B_0 \) und \( \lambda \). Das musst Du lösen und wirst sehen, man kanns auch alleine.

Answer 2

50000= 42000*a^4

a= (50/42)^{1/4}

a) 50000*a^4 = ...

b) Einwohner 2002: 42000*a^{-5}= 33775

  35280*a^t = 65000

a^t = 65000/33775

t= ln(65000/33775)/ln a = 15,02 Jahre

Answer 3

Die Bevölkerung einer Stadt ist von 2002 bis 2011
annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2007 hatte die Stadt 42000 Einwohner, im Jahr 2011 hatte sie 50000 Einwohner. wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird.

( Jahr | Einwohner )
( 2007 | 42000 )
( 2011 | 50000 )

(Zähle die Jahre von 2002 an!)
( Jahr | Einwohner )
( 5 | 42000 )
( 9 | 50000 )

B ( t ) = B0 * fak ^t
B ( 5 ) = B0 * fak ^5 = 42000
B ( 9 ) = B0 * fak ^9 = 50000

B0 * fak ^9 = 50000
B0 * fak ^5 = 42000 | teilen
-------------------------
fak^9 / fak^5 = 50000 / 42000

fak ^{9-5} = 50 /42
fak ^4 = 50/42 | hoch 1/4
fak = ( 50/42) ^{1/4}
fak = 1.0446

B0 * fak ^9 = 50000
B0 * 1.0446 ^9 = 50000
B0 = 50000 / 1.0446 ^9
B0 = 33761

B ( t ) = 33761 * 1.0446 ^t

A) Wie viele Einwohmer wird die Stadt im Jahr 2015 haben?
2015 : t = 13
B ( 13 ) = 33761 * 1.0446 ^13 = 59534 Einwohner

B) Wann wird die Stadt mindestens 65000 Einwohner haben?
B ( t ) = 33761 * 1.0446 ^t = 65000
1.0446 ^t = 65000 / 33761 | ln ()
t * ln ( 1.0446 )= ln (65000 / 33761  )
t = 15 Jahre
Im Jahr 2017