Bräuchte Hilfe:) Exponentialungleichungen!

Question

Ein Körper mit der Temperatur 80°C wird in einen Kühlraum gestellt. Dabei nimmt seine Temperatur pro Stunde um 20% ab.Nach welcher Zeit ist die Temperatur unter 50°C gesunken? :)

Comments

Lös mal Deinen erste Aufgabe, dann findest Du auch hier die Lösung.

Answer 1

Hi,

wenn der Körper in einer Stunde 20% seiner Temperatur verliert bedeutet das das gleiche wie: Der Körper hat nach einer Stunde abkühlen noch 80% seiner Temperatur.

D.h.: Ist \(T_0\) die Temperatur des Körpers , so hat er nach einer Stunde die Temperatur \(0,8 \cdot T_0\). Nach zwei Stunden hat er von dieser Temperatur nur noch 80%, d.h. \(0,8 \cdot 0,8 \cdot T_0\).

Wir erhalten folgende Formel: \(T(t)=T_0 \cdot 0,8^t\), wobei \(t\) für die Zeit (Einheit: Stunde) und \( T_0\) für die Anfangstemperatur steht.

Wir bezeichnen mit \(t_{ges}\) („ges“ steht für „gesucht“) die Zeit nachdem die Temperatur des Körpers nur noch \(50^{\circ} \text{C}\) beträgt. Nun kennst du \(T(t_{ges})\) und \(T_0\). Damit kannst du dein \(t_{ges}\) bestimmen :)

Answer 2

Hallo beater_girl,

T = Temperatur in °C  ,  t = Zeit in Sunden

Bei 20% Abnahme pro Stunde reduziert sich der Wert jeweils auf 80%,                                                     also mit dem Faktor 0,8:

T(t) = 80 * 0,8^t 

50  = 80 * 0,8^t      | : 80    und Gleichung umdrehen

0,8^t = 5/8     | ln anwenden: 

ln (0,8^t )= ln(5/8)

Logarithmensatz  ln(u^r) = r * ln(u) : 

t * ln(0,8) = ln(0,625)

t  =  ln(0,625) / ln(0,8)  ≈  2,1  [Stunden] 

Gruß Wolfgang