zu (i)
Unter Verwendung von l'Hospital ergibt sich:
\( \underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } { f }_{ \alpha ,\beta }(x)=\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { x² }{ \frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }-{ e }^{ -x } \right) } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { g(x) }{ h(x) } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { g(x)' }{ h(x)' } =\underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } \frac { 2x }{ \frac { 1 }{ 2 } \left( { e }^{ x }+{ e }^{ -x } \right) } =\frac { 0 }{ 1 } =0 \)
\( \frac { x² }{ sinh(x) } \) ist auf \( (-\infty ,0) \) stetig (die einzige Nullstelle von \( sinh(x) \) liegt bei \( x = 0\))
Mit der Wahl von \( \alpha =0\\ \) ist f auf ganz R stetig bzw. stetig für alle \( x\in R \), denn dann gilt \( \underset { x\rightarrow { 0 }^{ - } }{ lim } { f }_{ \alpha ,\beta }(x)=0=f_{ \alpha ,\beta }(0)\quad \)
und \( \beta x\) , \( \beta \in R \) ist auf \( [0,\infty ) \) stetig.
