Für welche Werte von p und q ist α surjektiv, injektiv oder bijektiv?

Question

Da ich mir leider nicht ganz vorstellen kann wie diese Abbildung aussieht, finde ich es schwer, die dazugehörige Frage zu beantworten... Daher würde ich mich riesig über einen Lösungsansatz freuen! (:

PS: Ist es richtig, sich bei der Surjektivität der Linearen Abbildung α, Gedanken über die Dimensionen der Definitionsmenge, bzw. Zielmenge zu machen? Und inwiefern wirkt sich diese bei der Menge aller Homomorphismen Hom(K^q, K^p) aus?

Liebe Grüße, Lara :)

Für welche Werte von p und q ist α surjektiv, injektiv oder bijektiv?

Answer 1

Die Homomorphismen von K^q nach K^p werden ja repräsentiert

durch die Matrizen mit q Spalten und p Zeilen.

Und Φ(v) ist dann immer die erste Spalte einer solchen

Matrix.  Also ist es für q=1 sicherlich ein

Isomorphismus.

surjektiv ist α meiner Meinung nach immer, denn zu 

jedem Vektor aus K^p gibt es eine

pxq Matrix, die ihn als 1. Spalte hat.

Und wenn q>1 ist, ist α nicht injektiv;  denn in der

2. Spalte können sich 2 Matrizen unterscheiden und

liefern trotzdem beide das gleiche Bild bei α.

Comments

Danke für die schnelle Rückmeldung mathef, jedoch ist mir nicht ganz klar inwiefern der Homomorphismus durch Matrizen repräsentiert wird. Ist es nicht so, dass in K^q und K^p jeweils Vektoren sind und der Homomorphismus die Menge der Abbildungen zwischen diesen Vektoren ist?

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Genau so wie du sagst ist es.

Und wenn man die Vektoren der Standardbasis  von  K^q 

abbildet, dann erhält man q Spalten in K^p .   Und wenn man

diese der Reihe nach in eine Matrix M schreibt, erhält man zu jedem

Spaltenvektor v aus   K^q das Bild durch  M*v.

Kleines Beispiel:

f : ℝ2 -->  ℝ3 mit   

$$ \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix} ---> \begin{pmatrix} x+y\\x-y\\y \end{pmatrix} $$

Dann ist die Matrix  

$$ M=\begin{pmatrix}  1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

Und wenn du jetzt nachrechnest, siehst du: Es stimmt:

$$ M* \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+y\\x-y\\y \end{pmatrix} $$In diesem Sinne wird jeder Hom. durch eine Matrix eindeutig beschrieben.

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Vielen Dank, so ist das viel verständlicher!