Hyperbel = Hyperbolische Funktion?

Question

wenn man sich Hyperbeln aus der Mittelstufe anschaut und Funktionen wie cosinus hyperbolicus, fragt man sich inwieweit diese verwandt sind. Welche Eigenschaften haben hyperbolische Funktionen (Hyperbeln). Der cosinus hyperbolicus hat z.B. keine zwei voneinander getrennte Äste... kann mir jemand die Eigenschaften hyperbolischer Funktionen erklären, also aus welchem Grund sie so genannt werden?

Answer 1

Eine Hyperbel ist ein geometrisches Objekt.

> Welche Eigenschaften haben hyperbolische Funktionen

Hyperbolische Funktionen sind keine geometrischen Objekte, sondern Funktionen. Deren Graphen sind geometrische Objekte, aber keine Hyperbeln. Die hyperbolischen Funktionen haben aber eine Verbindung zu Hyperbeln.

Es gibt Möglichkeiten, Hyperbeln zu beschreiben, ohne auf Funktionen zurückzugreifen. Eine solche Möglichkeit sind Gleichungen, zum Beispiel die Gleichung

        x² - y² = 1.

Die Lösungsmenge dieser Gleichung kann man als Menge von Punkten auffassen. Trägt man diese Punkte in einem Koordinatensystem ein, dann hat man eine Hyperbel. Rotiert man diese Hyperbel 45° um den Ursprung, dann bekommt man den auch aus der Schule bekannten Graphen der Funktion f(x) = 1/x.

cosinus hyperbolicus und sinus hyperbolicus hängen nun wie folgt mit der Lösungsmenge obiger Gleichung zusammen:

1. Man zeichnet eine Ursprungsgerade mit eine Steigung zwischen 0 und 1.
2. Man spiegelt diese Gerade an der x-Achse.
3. Die zwei Geraden und die Hyperbel zu x² - y² = 1 mit x > 0 schließen eine Fläche A ein.
   
4. Die erste Gerade schneidet die Hyperbel im Punkt (c | s).
5. Es ist c = cosh A und s = sinh A.
   

Unter wikipedia://Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus gibt's auch ein Bild dazu.

Comments

Das hat mir etwas weitergeholfen. Das Problem ist, wie soll man zur Funktion cosh und der Kettenlinie einen Vortrag halten. Viel zu komplex für die Zielgruppe (vlt  ja auch nur für mich) (Mittel/Oberstufe). Ich selber habe zwar verstanden, welche Materialien, wann in der Form der Kettenline auftauchen, aber das wiederum physikalisch/mathematisch zu erklären ....hmm. 

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Ich habe hyperbolische Funktionen dadurch erklärt, wie sie mit Hyperbeln zusammenhängen. Ich nenne das mal den etymologischen Zugang. Es gibt aber auch andere Zugänge zu diesen Funktionen:

Jede Funktion lässt sich darstellen als Summe einer geraden Funktion (d.h. der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse) und einer ungeraden Funktion (d.h. der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung). Die Funktion

        g(x) := ½(f(x) + f(-x))

ist nämlich eine gerade Funktion (unabhängig davon, was denn eigentlich f(x) ist), und die Funktion

        u(x) := ½(f(x) - f(-x))

ist eine ungerade Funktion, und es ist

        f(x) = g(x) + u(x).

Im Speziellen ist

       cosh(x) = ½(e^x + e^-x)

und

      sinh(x) = ½(e^x - e^-x)

und

      e^x = cosh(x) + sinh(x).

Mit anderen Worten, cosh und sinh sind der gerade und der ungerade Anteil der Exponentialfunktion. Das würde ich als innermathematischen Zugang bezeichnen.

Die Kettenlinie, die du angesprochen hast, ist ein dritter Zugang, der  physikalische Zugang.

Meiner Meinung nach sollten in einem Vortrag alle drei Aspekte erwähnt werden. Allerdings geht es tatsächlich über das Niveau der Oberstufe hinaus, eine Verbindung zwischen diesen drei Aspekten aufzuzeigen.

• Für den physikalischen Zugang braucht man Differentialgleichungen.
  
• Für den etymologischen Zugang braucht man Integrale und Koordinatentransformation.
• Für den innermathematischen Zugang braucht man nur gerade und ungerade  Funktionen. Das scheint am ehesten mit Mitteln der Schulmathematik vemittelbar zu sein.

Insofern würde ich mich auf den innermathematischen Zugang konzentrieren. Du solltet die anderen zwei aber schon erwähnen. In der Mathematik sieht es ja so aus, dass spezielle Funktionen dann einen standardisierten Namen bekommen, wenn sie von besonderem Interesse sind. Und besonderes Interesse kommt unter Anderem dadurch zustande, dass sie in unteschiedlichen Teilbereichen vorkommen.

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Die letzte Frage, wenn Hyperbeln "geometrische Objekte" sind, was unterscheidet sie von einer Funktion. Funktionen mit negativen Expos wie x^{-1} werden ja  auch Hyperbeln genannt..

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Das Wort Funktion stellt heraus, dass man Ausgabewerte aus Eingebewerten berechnen kann.

Im Gegensatz dazu wir der Graph der Funktion nicht verwendet, um Ausgabewerte aus Eingebewerten zu berechnen. Stattdessen wird der Graph gezeichnet.

Geht man etwas tiefer zu den Grundlagen, dann gibt es keinen Unterschied zwischen einer Funktion und ihrem Graphen. Deshalb darf man Funktionen, deren Graphen Hyperbeln sind, ebenfalls als Hyperbeln bezeichnen.

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Licht füllt langsam den dunklen Raum... Zu dem Link. Die gestrichelte Gerade schneidet die Hyperbel gar nicht. Ich sehe nicht den Grund, warum man den Flächeninhalt so gewählt hat... und wäre dann coshA=1/2 (e^A+e^{-A})? Man ich verstehe die hyperbolischen Funktionen nicht...

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> Ich sehe nicht den Grund, warum man den Flächeninhalt so gewählt hat...

Weil dann die x-Koordinate des Schnittpunktes cosh(A) ist. Ich weiß, die Katze beißt sich da in den Schwanz.

> und wäre dann coshA=1/2 (e^A+e^-A)?

Ja.

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Hm...

was für Aufgaben kann man zu diesem Thema denn stellen? Hast du da Beispielaufgaben?

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Rotiert man diese Hyperbel 45° um den Ursprung, dann bekommt man den auch aus der Schule bekannten Graphen der Funktion f(x) = 1/x.

Nein.

Answer 2

Warum hyperbolische Funktionen? - Zusammenhang mit der Hyperbel

So wie sich viele Funktionen in der sogenannten „Parameterform“ darstellen lassen, geht das auch mit der Hyperbel - mit Hilfe der hyperbolischen Funktionen. Mit \( x = a · cosh t \) und \( y = b * sinh t \) ergibt sich durch Umstellen und eliminieren des Parameters t:
\( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=\cosh ^{2} t-\sinh ^{2} t=1 \)
Beachtet man das doppelte Vorzeichen, ergibt sich der bekannte analytische Ausdruck für eine Hyperbel.

Quelle: http://www.uni-magdeburg.de/exph/mathe_gl/hyperbelfunktion.pdf (Seite 4 letzter Absatz)