Integralrechnung Lösungswege

Question

Ich bräuchte für diese Aufgaben leider mal nachvollziehbare Lösungswege. Komme selber gerade zu nichts sinnvollem.

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Bitte Text als Text eingeben. http://www.mathelounge.de/schreibregeln

Answer 1

11. a)
f(x) = k·x^2 ; g(x) = 5·k·x + 6·k
d(x) = f(x) - g(x) = k·x^2 - 5·k·x - 6·k = k·(x^2 - 5·x - 6) = k·(x + 1)·(x - 6)
D(x) = k·(1/3·x^3 - 5/2·x^2 - 6·x)
D(6) - D(-1) = k·(1/3·6^3 - 5/2·6^2 - 6·6) - k·(1/3·(-1)^3 - 5/2·(-1)^2 - 6·(-1)) = - 343/6·k = -1 --> k = 6/343

Die anderen Aufgaben werden ähnlich gelöst. Bilde also die Differenzfunktion und bestimme die Nullstellen. Integriere die Differenzfunktion in den Grenzen der Nullstellen und setzte das Integral gleich ±1. Bestimme so das k.

Kontrolliere mit einem Rechenknecht.

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Alles klar, danke für die Aufgaben erstmal, ich hatte bei 11a offenbar bereits das richtige Ergebnis, aber konnte aus dem Lösungsweg nicht so richtig was machen.

Wie begründe ich denn 12a und c? Da bin ich jetzt ein bisschen am Straucheln.

Answer 2

Hi,

hier mal die Aufgabe 11 c):

Zunächst müssen wir die Schnittpunkte der Funktionen \(f\) und \(g\) bestimmen: \(x^2-k=f(x)=g(x)=k-x^2\)

Wir erhalten: \(2x^2=2k\)

Also sind \(x_1=\sqrt{k}\) und \(x_2=-\sqrt{k}\) die Schnittstellen.

Wir müssen also \(k\) so bestimmen, dass

$$\vert  \overset{\sqrt{k}}{\underset{-\sqrt{k}}{\int}} f(x)-g(x) \ dx \vert =A$$

gilt. 

Es gilt: 

$$\begin{aligned} \vert  \overset{\sqrt{k}}{\underset{-\sqrt{k}}{\int}} f(x)-g(x) \ dx \vert &= \vert  \overset{\sqrt{k}}{\underset{-\sqrt{k}}{\int}} 2x^2 -2k\ dx \vert  \\ &= 2 \cdot \vert   \overset{\sqrt{k}}{\underset{-\sqrt{k}}{\int}}x^2 \ dx -\overset{\sqrt{k}}{\underset{-\sqrt{k}}{\int}} k \ dx \vert  \\ &= 2 \cdot \vert 0 - k \cdot (\sqrt{k}-(-\sqrt{k})) \vert \\ &= 4 k^{3/2}\end{aligned} $$

(Das erste Integral wird aufgrund der Symmetrie von \(x^2\) zu 0.)

Es muss also \(4 k^{3/2}=\frac{8}{3}\) gelten. Wir erhalten: \(k=\sqrt[3]{(\frac{2}{3})^2}=\sqrt[3]{\frac{4}{9}}\)