Determinante, Abbildungsmatrix

Question

hat jemand eine Ahnung wie man die Determinante von einem K-Vektorraum rechnen kann ?

Betrachte den K-Vektorraum V = K^{2×2} der 2 × 2 Matrizen über dem Körper K und die lineare Abbildung
ν: K^{2×2} → K^{2×2}
A → MA (Matrixmultiplikation)

für eine gegebene Matrix M =  (a b
                                                  c d) ∈ K^{2×2}

(a) Zeige, dass ν linear ist.
(b) Gebe eine Basis B für V an.
(c) Bestimme die Abbildungsmatrix MBB (ν).
(d) Bestimme die Determinante von ν.

Danke

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Determinante von Matrizen

Stichworte: matrix,determinante,inverse,algebra,multiplikation

Betrachten Sie den K-Vektorraum V = K
2×2 der 2 × 2 Matrizen über dem Körper K und die lineare
Abbildung
ν: K
2×2 → K
2×2
,
A → MA (Matrixmultiplikation)
für eine gegebene Matrix M =

a b
c d
∈ K
2×2
.
(a) Zeigen Sie, dass ν linear ist.
(b) Geben Sie eine Basis B für V an.
(c) Bestimmen Sie MB
B
(ν).
(d) Bestimmen Sie die Determinante von ν.

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Ist das nicht auch schon hier https://www.mathelounge.de/508675/determinante-von-matrizen ? 

Sieht bei dir lesbarer aus. 

Answer 1

Hi,

zur a): \(\nu(A+B)=\nu(A)+\nu(B)\) musst gelten. Das folgt eigentlich direkt. wieso?

b) Tipp: Denke an die Standardbasis mit den Einheitsvektoren im \(\mathbb{R}^n\). In \(K^{2 \times 2}\) gibt es auch eine Standardbasis und die Matrizen dieser Basis (Standardmatrizen) sehen den Einheitsvektoren ähnlich :)

Zur c) und d): Wir hatten nie Abbildungsmatrizen zwischen Matrizenräumen. Finde dazu aber auch leider nichts im Internet. Könnte mir vorstellen, dass man sagt, dass es einen Isomorphismus zwischen \(Mat(2 \times 2, K)\) und \(K^4\) gibt und dann die Abbildungsmatrix von \(f: K^4 \to K^4: \ A' \mapsto M' \cdot A'\) bestimmt, wobei \(A'=(a_{11}, a_{12}, a_{13},a_{14})^T\) und \(M'=(a,b, c,d)^T\) nun Vektoren sind und \(„\cdot “\) für die komponentenweise Multiplikation steht. 

Wissen tue ich das allerdings nicht. Wäre gut, wenn das jemand bestätigen oder verneinen könnte.

Comments

und „⋅“ für die komponentenweise Multiplikation steht

kann man getrost verneinen