Problem bei der Anwendung der Cardanischen Formeln

Question

"Jede Frage nur einmal stellen. Ansonsten wirst du vom Forum geblockt."

Bevor ihr mich wieder aufjegliche Paragraphen des Regelwerks hinweist. Hier eine kurze Stellungnahme:

Mir ist klar, dass mein vorheriger Post diesselbe Aufgabe adressiert. Doch zum Zwecke der Übersichtlichkeit werde ich meine Berechnungsfortschritte noch einmal genauer und übersichtlicher mitteilen, um die Wahrscheinlichkeit einer Antwort zu erhöhen.

Berechnungen:

f(x)=4x^3-24x^2-3016x+4800      :4

f(x)=x^3-6x^2-754x+1200                                                             f(x)=x^3-ax^2-bx+c 

Mit Hilfe der Substitution x=z-(a/3) wird in der Normalform das quadratische Glied beseitigt, und man erhählt die reduzierte Form:

z^3+pz+q=0

p=-754-(-6^2/3)

p=-742

q=(a*b/3)-(2/27)*a^3-c

q=(-6*(-754)/3)-(2/27)*(-6)^3-1200

q=324

$$ z=\sqrt[3]{-\frac{324}{2}+\sqrt{(\frac{324}{2})^2+\frac{-742^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{324}{2}-\sqrt{(\frac{324}{2})^2+\frac{-742^3}{27}}} $$

Die Eingabe in Wolframalpha ergibt: 

(Zur Überprüfung der Eingabe, füge ich ein Bild ein)

Plotluxplotter funktioniert nicht... Der Google-Plotter zeigt, dass es  eine Nullstelle gibt bei -25.46, eine bei 1.57 und eine bei 29.88.

Meine Quelle ist diese Seite hier:

https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/die-cardanische-formel

Auf der heißt es:

"Auf diese reduzierte Form der kubischen Gleichung bezieht sich die folgende cardanische Lösungsformel:

FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL FORMEL

Daraus ergibt sich x, nämlich durch x=z-(a/3)

Muss ich jetzt die Substitution auflösen? Oder was mache ich sonst falsch?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Cardanische Formel anwenden?

Stichworte: formel,kubisch

Berechnung der Aufgabe mit Hilfe der Cardanischen Formel:

f'(x)=4x^3-24x^2-3016x+4800

Wir müssen substituieren:

x=z-a/3

daraus ergibt sich:

z^3+pz+q=0

p=b-(a^2/3)

p=-3016-(-24^2/3)

p=-2824

q=(a*b/3)-(2/27)*a^3-c

q=(-24*(-3016)/3)-(2/27)*(-24)^3-4800

q=20352

$$ z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+\frac{p^3}{27}}} $$

Eingesetzt:

$$ z=\sqrt[3]{-\frac{20352}{2}+\sqrt{(\frac{20352}{2})^2+\frac{-2824^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{20352}{2}-\sqrt{(\frac{20352}{2})^2+\frac{-2824^3}{27}}}= 49.01 $$

Ist irgendwas falsch?

Wie mache ich 49.01 wieder x ist (49.01 ist ja aktuell z-a/3)

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Sollte man nicht zunächst durch 4 teilen?

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Gute Idee, werde es versuchen!

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Hallo für Alle nochmal,

f'(x)=4x^3-24x^2-3016x+4800    :4

f'(x)=x^3-6x^2-754x+1200

Berechnung der Aufgabe mit Hilfe der Cardanischen Formel:

f'(x)=x^3-6x^2-754x+1200

Wir müssen substituieren:

x=z-a/3

daraus ergibt sich:

z^3+pz+q=0

p=b-(a^2/3)

p=-1200-(-6^2/3)

p=-1188

q=(a*b/3)-(2/27)*a^3-c

q=(-6*(-754)/3)-(2/27)*(-6)^3-1200

q=324

$$ z=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{(\frac{q}{2})^2+\frac{p^3}{27}}} $$

Eingesetzt:

$$ z=\sqrt[3]{-\frac{324}{2}+\sqrt{(\frac{324}{2})^2+\frac{-1188^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{324}{2}-\sqrt{(\frac{324}{2})^2+\frac{-1188^3}{27}}}$$



und dann?

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Für b solltest du -754 einsetzen, nicht -1200.

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Nein,aber ich sehe gerade das ich einen anderen Fehler gemacht habe.

Ich muss für b= -754 einsetzen.

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Am Anfang wurde ja substituiert wie löse ich das jetzt wieder auf?

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Sorry, falsche Taschenrechnereingabe das Ergebnis ist 27.01

x=z-(a/3)

x=27.01-(-6/3)

x=29.01

es gibt eine Nullstelle bei x=29.8.....

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Oder wie löse ich die Substitution wieder auf?

Answer 1

Die allgemeine Gleichung dritten Grades ist Ax^3 + Bx^2 + Cx + D = 0.
In unserer Gleichung 4x^3 - 24x^2 - 3016x + 4800 = 0 sind die Koeffizienten A = 4, B = -24, C = -3016, D = 4800.
Wir teilen die Gleichung durch 4, um die Normalform x^3 + ax^2 + bx + c  = 0 zu bekommen
4x^3 - 24x^2 - 3016x + 4800 = 0 |:4
x^3 - 6x^2 - 754x + 1200  = 0
Obige Gleichung ist unsere Normalform mit a = -6, b = -754, c = 1200

p = b - a^2/3 = -754 - (-6)^2/3
p = -766

q = 2/27*a^3 - 1/3*a*b + c = 2/27*(-6)^3 - 1/3*(-6)*(-754) + 1200
q = -324

Δ = (q/2)^2 + (p/3)^3 = (-324/2)^2 + (-766/3)^3 = -1,66...
Im Falle Δ < 0 gibt es drei verschiedene, reelle Lösungen. https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln#%CE%94_%3C_0_(casus_irreducibilis)

Wir brauchen noch B/(3*A) = -24/(3*4) = -2 und können nun p, q und -2 in die Formeln einsetzen.

x₁ = sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)^3)))-(-2) ≈ 29,8858
x₂ = -sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)^3))+pi/3)-(-2) ≈ 1,5769
x₃ = -sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)^3))-pi/3)-(-2) ≈ -25,4627

Grüße

Comments

Hey gorgar,

Danke zunächst für die Antwort.

Meine Taschenrechner berechnet -754-(-6^2/3)=-742 

Ich hätte mir die Formeln unten durchlesen sollen, da war ich aber wohl zu faul... 

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Danke für den Stern :-)

Es ist a = -6 und a^2 = (-6)^2. D.h. es muss eine Klammer um -6.

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Danke für den Stern :-)

Hast du dir verdient!

Jetzt kommt auch bei mir -766 raus!

Könntest du mir vielleicht noch diese Zahlenwirre erläutern?

x₁ = sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)3)))-(-2) ≈ 29,8858
x₂ = -sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)3))+pi/3)-(-2) ≈ 1,5769
x₃ = -sqrt(-4/3*(-766))*cos(1/3*arccos(-(-324)/2*sqrt(-27/(-766)3))-pi/3)-(-2) ≈ -25,4627

sqrt steht ja für squared also ^2 aber auf was ist das bezogen? Ich erkenne da nichts drin...

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Könntest du mir vielleicht noch diese Zahlenwirre erläutern?

Das ist die Anwendung der Cardanischen Formeln. Oben in der Antwort habe ich dir den casus irreducibilis verlinkt, am Ende des Abschnitts stehen die drei Formeln.
sqrt ist die Abkürzung für square root. https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratwurzel

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Ahhh, sqrt ist square root achsoo! dachte das heißt sqrt nur abgekürzt...

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Zur Überprüfung meines Verständnis werde ich eine, von mir ausgedachte Aufgabe, versuchen zu lösen:

Ich möchte die Nullstellen dieser Funktion ermitteln:

f(x)=2x^3+33x^2+32x-4     :2

f(x)=x^3+16.5x^2+16x-2

x=z-(a/3)

---->   z^3+pz+q=0

p=16-(16.5^2/3)

p=-74.75

q=(2*16.5^3/27)-(16.5*16/3)

q=-67.83

Δ=(-67.83/2)^2+(-74.75/3)^3

Δ=-14319.04

Δ<0 = drei verschiedene Lösungen

B/(3*A)

33/(3*2)=5.5

$$ {x}_{1}=\sqrt{-\frac{4}{3}*(-74.75)}*cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{-67.83}{2}*\sqrt{\frac{27}{-74.75^3}})-5.5$$

x₁=8.67 

Das stimmt aber nicht, was mache ich falsch?

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Zur Überprüfung meines Verständnis werde ich eine, von mir ausgedachte Aufgabe, versuchen zu lösen:

Ich möchte die Nullstellen dieser Funktion ermitteln:

f(x)=2x^3+33x^2+32x-4    :2

f(x)=x^3+16.5x^2+16x-2

x=z-(a/3)

---->  z^3+pz+q=0

p=16-(16.5^2/3)

p=-74.75

q=(2*16.5^3/27)-(16.5*16/3)-2

q=242.75

$${x}_{1}= \sqrt{-\frac{4}{3}*(-74.75)}*cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{242.75}{2}*\sqrt{-\frac{27}{-74.75^3}}))-5.5  =0.11198$$

$${x}_{2}= -\sqrt{-\frac{4}{3}*(-74.75)}*cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{242.75}{2}*\sqrt{-\frac{27}{-74.75^3}})+\frac{π}{3})-5.5  =-1.1555180$$

$${x}_{3}= -\sqrt{-\frac{4}{3}*(-74.75)}*cos(\frac{1}{3}arccos(-\frac{242.75}{2}*\sqrt{-\frac{27}{-74.75^3}})-\frac{π}{3})-5.5  = -15.456463$$

Stimmen alle ;)

~plot~ 2x^3+33x^2+32x-4 ~plot~

Danke nochmal für die Hilfe

Anton

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Stimmen alle ;)

Super!

Danke nochmal für die Hilfe

Gerne! :-)