Verständnisfrage zu Cardano (Nullstellen eines Kubischen Polynoms)

Question

Aufgabe:

Ich habe eine Verständnisfrage zu der cardanischen Formel. Ich denke, das Prinzip habe ich verstanden, vielleicht kann mir jemand das Problem erklären:

Problem/Ansatz:

Zur Berechnung der Nullstellen einer cubischen Gleichung reduziere ich die Formel mit x=z - (a/3), so dass ich eine Gleichung der Form

X³ + px + q = 0

P und q kann ich mit den Zahlen aus der Ausgangsgleichung bestimmen und so x ausrechnen, wobei ich nur ein Ergebnis für x bekomme.

Das x dann mit x = z - (a/3) rücksubstituieren.

Ich erhalte dann wieder ein Ergebnis für x.

Sollte eine cubische Lösung nicht aber bis zu drei Lösungen haben?

Muss ich mit diesem x eventuell Nochmal eine polynomdividion machen, um so weitere Nullstellen zu bestimmen?

Answer 1

Wenn du ein kubisches Polynom durch \(x:=z-a/3\) reduzierst, wird das quadratische Glied beseitigt und du erhältst \(z^3+pz+q=0\).

P und q kann ich mit den Zahlen aus der Ausgangsgleichung bestimmen und so x ausrechnen, wobei ich nur ein Ergebnis für x bekomme.

Wie gehst du hier weiter vor? Das ist nach wie vor eine Gleichung, die du nicht durch die gänigen Verfahren zur Bestimmungen von Nullstellen lösen kannst. Ich denke an Vietas Substitution oder Cardano (eng verwandt).

Vielleicht führst du dein Problem noch etwas weiter aus!

Comments

P und q kann ich mit den Zahlen aus der Ausgangsgleichung bestimmen und so x ausrechnen, wobei ich nur ein Ergebnis für x bekomme.

Genau da macht der Fragesteller vermutlich eben den Fehler.

x^3 - 2·x + 1 = 0 hat sicher nicht nur eine Lösung und auch nicht zwei sondern gleich drei!

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erstmal Danke für die Antworten.

Hier mal die Aufgabe um die es geht:

x³ - 4/3 x² - 49/9 x + 196/27 = 0

mit x = z - a/3 ergibt sich die reduzierte Form

z³ + pz + q = 0

mit p = b - a²/3 = -6,637

und q = 2a³ /2 - ab/3 + c = -0,176

wobei a = -4/3, b = -49/9 und c =196/27

daraus folgt die reduzierte Form

z³ -6,637z - 0,176 = 0

Lösung mit Cardano

z = ³√-q/2 + √(-q/2)² + p³ /27  +   3√-q/2 - √(-q/2)2 + p3 /27

z = 0,023

Rücksubstitution von x = z - a/3 ergibt x = 0,468.

Ich hoffe, mein Lösungsweg ist deutlich genug gezeigt.

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Ich hätte bereits eine andere reduzierte Form. Kann aber auch sein, dass ich mich gerade verrechnet habe.

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Ich erhalte \(p\approx -6.037\) und \(q\approx 4.66\).

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Die Werte kann ich bestätigen.

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ok, es ist gut möglich, dass da in Rechenfehler ist, ich rechne das gleich nochmal nach.

Aber trotzdem erhalte ich ja am Ende nur ein Ergebnis?

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Ich weiß auch, um ehrlich zu sein, nicht in was du da einsetzt. Wir haben doch \(\Delta <0\) (casus irreducibilis)

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die Formeln sind vorgegeben. Einen Casus kenn ich gar nicht.

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die Formeln sind vorgegeben. Einen Casus kenn ich gar nicht.

Dann folge mal dem Link. Was weißt du denn generell bzw. wie rechnest du ? Es gilt das die Determinante < 0 ist und damit hat man 3 reelle Lösungen und nicht nur eine.

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das ist die Lösungsformel. Dann Rücksubstitution.

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Jetzt ist alles klar!!! Vielen Dank!!!!!