Nullstellen der kubischen Funktion y = x^3 -6x^2 +12x-8

Question

Um die Nullstellen zu bestimmen: Ausklammern geht hier nicht, oder doch?

x^3 -6x^2 +12x-8

Wie bestimme ich die Nullstellen?

Comments

Nicht ganz die gleichen Vorzeichen wie hier:

https://www.mathelounge.de/154876/bei-nullstellenberechnung-immer-das-falsche-ergebnis-12x 

Vielleicht nützt es trotzdem.

Answer 1

Du musst das Polynom um einen Grad reduzieren mit hilfe einer Polynom Division. Dann kannst du die pq-Formel verwenden. Für die Polynom Division findest du zunächst durch ausprobieren raus dass x=2 eine nullstelle ist und teilst dann das Polynom durch den linearfaktor (x-2).

Answer 2

Hallo. Falls Ableiten erlaubt ist, fällt auf, dass hier

$$y(2) = y'(2)=y''(2)=0$$gilt. Damit muss

$$y=(x-2)^3$$ gelten.

 

Mit dem binomischen Lehrsatz geht es wegen

$$x^3-6x^2+12x-8 = \\x^3 \cdot (-2)^0 + 3\cdot x^2 \cdot (-2)^1 + 3 \cdot x^1 \cdot (-2)^2 + 1 \cdot x^0 \cdot (-2)^3 = \\(x-2)^3$$auch.

Comments

Ausklammern geht hier nicht, oder doch?

Schaun wir mal: Wenn wir etwas ausklammern wollen, müssen wir wissen, was wir sinnvollerweise wo ausklammern können. Wir können durch Ausprobieren der ganzzahligen Teiler der 8 wissen, dass \((x-2)\) ein Linearfaktor ist. (Das ist auch eine Voraussetzung für eine Zerlegung durch Polynomdivision.) Der gefundene Linearfaktor muss dann auch ausgeklammert werden können. Zerlegen wir die Summanden nun passend zu unserem Faktor, lässt sich das Polynom durch Gruppieren und Ausklammern vollständig zerlegen:

$$ x^3-6x^2+12x-8 = \\x^3-2x^2-4x^2+8x+4x-8 = \\x^2 \cdot \left(x-2\right) -4x \cdot \left(x-2\right) + 4 \cdot \left(x-2\right) = \\\left(x^2-4x+4\right) \cdot \left(x-2\right) = \\\left(x-2\right)^2 \cdot \left(x-2\right) = \\\left(x-2\right)^3.$$(Im vorletzten Schritt habe ich der Einfachheit halber nicht ausgeklammert, sondern die zweite binomische Formel verwendet.)

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Eine andere Möglichkeit: Da wir zu
$$ x^3-6x^2+12x-8 $$ schon den Linearfaktor \((x-2)\) kennen, können wir es auch mit einer einfachen Koordinatentransformation durch die Substitution \(a:=(x-2)\) bzw. \(x=(a+2)\) versuchen. Wir erhalten:
$$ (a+2)^3-6(a+2)^2+12(a+2)-8 $$Ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt sich ein wesentlich einfacherer Term, dessen Linearfaktoren sofort ersichtlich sind und nur noch resubstituiert werden müssen.