Substitution bei den Cardanischen Formeln und Auflösung zur reduzierten Form

Question

Substitution bei den Cardanischen Formeln zur reduzierten Form

x³ + ax² + bx + c = 0

Substitution mit: x = z - a/3

demnach:

$$ x^{ 3 }+ax^{ 2 }+bx+c  =  0\\ x  =  z-\frac { a }{ 3 } \\ { (z-\frac { a }{ 3 } ) }^{ 3 }  +  a{ (z-\frac { a }{ 3 } ) }^{ 2 }  +  b{ (z-\frac { a }{ 3 } ) }  +  c  =  0\\ \\ ...?\\ \\ z^{ 3 }  +  \color{#00F}{ (b-\frac { { a }^{ 2 } }{ 3 } )z }  +  \color{#F0F}{ \frac { 2{ a }^{ 3 } }{ 27 } -\frac { ab }{ 3 } +c } =  0\\ z^{ 3 }  +  \color{#00F}{p}·z  +  \color{#F0F}{ q } = 0 $$

Die Zwischenschritte kriege ich irgendwie nicht hin.

Comments

Ist die Substitution mit x = z - a/3 nicht die Tschirnhaus Transformation (wiki engl.)?

Na jedenfalls recht ähnlich zur cardanischen Substitution.

Answer 1

Dafür musst du erstmal die drei Potenzen ausrechnen:

(z-a/3)¹ = (z-a/3)

(z-a/3)² = z²-2az/3 + a²/9

(z-a/3)³ = (z²-2az/3 + a²/9)*(z-a/3) = z³-z²a+za²/3 - a³/27

 

Setzt man das nun in die Gleichung ein, dann erhält man:

(z³ - az² + a²z/3 - a³/27) + a(z²-2az/3 + a²/9) + b(z-a/3) + c = 0

Sortiert nach Potenzen von z:

z³ - az² + az² + a²/3 z - 2a²/3 z +bz - a³/27 + a³/9 -ab/3 + c = 0

Die roten Terme heben sich gegenseitig weg, die grünen subtrahieren sich zu -a²/3 z.

Für die blauen gilt:
 

a³/9 - a³/27 = 3a³/27 - a³/27 = 2a³/27

Damit ergibt sich:

z³ + z*(b - a³/3) + a²/27 - ab/3 + c = 0
 

Comments

Sehr schön aufgelöst!

Als Ergänzung die Zwischenschritte für die Umformung von (z-a/3)³:

(z-a/3)³

= (z²-2az/3 + a²/9)*(z-a/3)

= z²*(z-a/3) + (-2az/3)*(z-a/3) + (a²/9)*(z-a/3)

= z²*z - z²*a/3 + (-2az/3)*z - (-2az/3)*(a/3) + (a²/9)*z - (a²/9)*(a/3)

= z³-az²/3 - 2az²/3 + 2a²z/9 + za²/9 - a³/27

= z³ - z²a/3 - 2z²a/3 + 2za²/9 + za²/9 - a³/27

= z³       - 3z²a/3        +      3za²/9     - a³/27

= z³       - z²a        +      za²/3     - a³/27

= z³ - z²a + za²/3 - a³/27