Zeigen Sie, dass A=((−1 1 1)(1 −1 1)(1 1 −1)) invertierbar ist und die Gleichung gilt.

Question

Sei A ∈ M₃(IR) die Matrix gegeben durch

A =−1 1 1
      1 −1 1
      1 1 −1

1.Zeigen Sie, dass die Gleichung A² = 2I₃ − A gilt.
2.Zeigen Sie, dass A invertierbar ist und geben Sie A⁻¹ an.

 

'Was ist denn bitte invertierbar? Außerdem weiß ich nicht, wie ich die Matrix in der Gleichung aus 1. reinsetzen kann. Über jede Hilfe bin ich dankbar!

Answer 1

1. Berechne A²+A:

$$ \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { 1 + 1 + 1 } & { - 1 - 1 + 1 } & { - 1 + 1 - 1 } \\ { - 1 - 1 + 1 } & { 1 + 1 + 1 } & { 1 - 1 - 1 } \\ { - 1 + 1 - 1 } & { 1 - 1 - 1 } & { 1 + 1 + 1 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { 3 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 3 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { 3 } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 2 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } \end{array} \right) = 2 I $$

2. A ist invertierbar, wenn die Determinante ungleich 0 ist:

Nach der Sarrusregel erhält man:

det A = (-1)³+1³+1³-(-1)*1²-(-1)*1² - (-1)*1² = 4 ≠ 0

also ist die Matrix invertierbar.

Das Inverse kann bestimmt werden, indem man (A, I) als erweiterte Matrix notiert und die linke Seite mit dem Gaußalgorithmus auf Stufennormalform bringt:

$$ \left( \begin{array} { c c c c c c } { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { c c c c c } { 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { 0 } & { 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \sim \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 / 2 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 / 2 } & { 1 / 2 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Die invertierte Matrix ist also

$$ \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 1 / 2 } & { 1 / 2 } \\ { 1 / 2 } & { 0 } & { 1 / 2 } \\ { 1 / 2 } & { 1 / 2 } & { 0 } \end{array} \right) $$

Answer 2

Soweit ich verstehe, hast du eine Frage zum 2. Teil. Ich kann dir da zur Zeit nur einen Teil beantworten:

Invertierbar heisst umkehrbar (Du kennst vielleicht den Begriff Umkehrfunktionen). Die Inverse Matrix löst die Gleichung Ax = b auf einen Schlag auf.

Man multipliziert links und rechts mit A^-1  und erhält den Spaltenvektor x direkt , da  A^-1A x = I₃ x = x = A^-1 b

Eine 3*3-Matrix ist z.B. invertierbar, resp. umkehrbar, wenn ihre Determinante ≠ 0 ist oder wenn ihre Spaltenvektoren( und ihre Zeilenvektoren) linear unabhängig sind.

Wenn du die Inverse Matrix A^-1 angeben kannst, ist sie auch invertierbar.

 Ich rechne dir mal die Determinante aus, obwohl das beim 2. Teil gar nicht nötig ist, da du die Inverse sowieso ausrechnen musst.

A =−1 1 1 
      1 −1 1 

      1 1 −1 

Det(A) = Det (−1 1 1    )  -1 1     = -1 +1+1 - ( -1 -1 -1) = -1+2+3=4   ≠ 0

                           1 −1 1      1 -1
                           1 1 −1      1 1

Somit hab ich mal gezeigt, dass A invertierbar ist.