das Besondere an der e-Funktion ist, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ergibt, also
f(x) = ex | f'(x) = ex | Der Ausdruck mit e bleibt immer so stehen, man muss diesen aber mit der Ableitung des Exponenten ("innere Ableitung") multiplizieren; da 1 die Ableitung von x ist, multipliziert man also das ex mit 1, was am Ergebnis nichts ändert.
f(x) = t * ex | f'(x) = t * ex | Hier ebenso: Die Konstante t wird mit der Ableitung von x, also mit 1 multipliziert, deshalb keine Veränderung des Ergebnisses
Aber:
f(x) = ex/2 | f'(x) = 1/2 * ex/2 | Hier bleibt das ex/2 auch stehen, muss aber mit der Ableitung von x/2 multipliziert werden, und die ist ja 1/2
Aufgabe 5)
ft(x) = t * ex - 2x
ft'(x) = t * ex - 2
5a)
Koordinaten des gemeinsamen Punktes Y von Kt und der y-Achse.
Die y-Achse wird an der Stelle x = 0 geschnitten.
Also setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein und erhalten:
ft(0) = t * e0 - 2 * 0 = t * 1 - 2 * 0 = t
Y hat also die Koordinaten (0|t)
5b)
Welche Steigung hat Kt in Y?
Setzen wir 0 in die Ableitung der Funktion ein:
ft'(0) = t * e0 - 2 = t * 1 - 2 = t - 2
Für welche t verläuft der Graph Kt dort steiler als die Gerade mit der Gleichung y = 4x?
Die Gerade y = 4x hat die Steigung (4x)', also 4.
t - 2 > 4 für t > 6
Aufgabe 6a)
f(t) = 4800 * et
Wie oben ausgeführt, bleibt bei der Ableitung von et dieses hinten stehen, und der Ausdruck wird mit der inneren Ableitung multipliziert, also mit t' = 1.
Also gilt
f'(t) = 1 * 4800 * et = 4800 * et
f'(3) = 4800 * e3 ≈ 96.410,58
Das müsste bedeuten (ich bin mir nicht ganz sicher und lasse mich gerne korrigieren), dass am 3. Tag seit dem erstmaligen Auftreten des Virus ca. 96.411 Rechner neu infiziert werden.
6b)
10 Computer pro Sekunde = 10 * 3600 * 24 = 864.000
Also:
1. Ableitung = 864.000 setzen
4800 * et = 864.000
et = 864.000/4.800 = 180
Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus ln, deshalb:
ln (et) = ln (180)
t ≈ 5,193
Also werden nach dieser Formel schon nach wenig mehr als 5 Tagen 10 Computer pro Sekunde infiziert.
6c)
Bitte einmal selbst überlegen :-)
Zum Spielen mit Ableitungen der e-Funktion empfehle ich
matheguru.com/rechner/ableiten
Besten Gruß