Verschiedene Aufgaben zu e-Funktion

Question

Aufgabe 5:

Gegeben ist für jedes \( t \in \mathbb{R} \) die Funktion \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}} \) mit \( \mathrm{f}_{\mathrm{t}}(\mathrm{x})=\mathrm{t} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-2 \mathrm{x} ; \mathrm{ihr} \) Graph heißt \( \mathrm{K}_{\mathrm{t}} \).

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des gemeinsamen Punktes \( Y \) von \( K_{t} \) und der \( y \) -Achse.

b) Welche Steigung besitzt der Graph \( \mathrm{K}_{\mathrm{t}} \) im Punkt \( Y \) ? Für welche \( \mathrm{t} \) verläuft der Graph \( \mathrm{K}_{\mathrm{t}} \) dort steiler als die Gerade mit der Gleichung \( y=4 x \) ?

Aufgabe 6:

Ein Computervirus verbreitet sich als E-Mail-Attachment weltweit. Ist \( \mathrm{t} \) die Zeit (in Tagen) seit dem erstmaligen Auftreten des Virus, so kann die Anzahl infizierter Computer durch die Funktion \( f \operatorname{mit} f(t)=4800 \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{t}} \) beschrieben werden.

a) Bestimmen Sie \( f^{\prime}(3) \) und erläutern Sie, was dieser Wert anschaulich bedeutet.

b) Ab welchem Zeitpunkt werden mehr als 10 Computer pro Sekunde neu infiziert?

c) Für die natürliche Exponentialfunktion gilt \( f^{\prime}(t)=f(t) \). Erklären Sie, was diese Eigenschaft im Hinblick auf die Ausbreitung des Virus besagt, und diskutieren Sie, inwiefern sie bei diesem Vorgang tatsächlich erfüllt sein könnte.

Answer 1

 

das Besondere an der e-Funktion ist, dass ihre Ableitung wieder die e-Funktion ergibt, also

f(x) = e^x | f'(x) = e^x | Der Ausdruck mit e bleibt immer so stehen, man muss diesen aber mit der Ableitung des Exponenten ("innere Ableitung") multiplizieren; da 1 die Ableitung von x ist, multipliziert man also das e^x mit 1, was am Ergebnis nichts ändert. 

f(x) = t * e^x | f'(x) = t * e^x | Hier ebenso: Die Konstante t wird mit der Ableitung von x, also mit 1 multipliziert, deshalb keine Veränderung des Ergebnisses

Aber:

f(x) = e^x/2 | f'(x) = 1/2 * e^x/2 | Hier bleibt das e^x/2 auch stehen, muss aber mit der Ableitung von x/2 multipliziert werden, und die ist ja 1/2

Aufgabe 5)

f_t(x) = t * e^x - 2x

f_t'(x) = t * e^x - 2

 

5a)

Koordinaten des gemeinsamen Punktes Y von K_t und der y-Achse.

Die y-Achse wird an der Stelle x = 0 geschnitten. 

Also setzen wir x = 0 in die Funktionsgleichung ein und erhalten:

f_t(0) = t * e⁰ - 2 * 0 = t * 1 - 2 * 0 = t

Y hat also die Koordinaten (0|t)

5b)

Welche Steigung hat K_t in Y?

Setzen wir 0 in die Ableitung der Funktion ein:

f_t'(0) = t * e⁰ - 2 = t * 1 - 2 = t - 2

Für welche t verläuft der Graph K_t dort steiler als die Gerade mit der Gleichung y = 4x?

Die Gerade y = 4x hat die Steigung (4x)', also 4. 

t - 2 > 4 für t > 6

 

Aufgabe 6a)

f(t) = 4800 * e^t

Wie oben ausgeführt, bleibt bei der Ableitung von e^t dieses hinten stehen, und der Ausdruck wird mit der inneren Ableitung multipliziert, also mit t' = 1. 

Also gilt

f'(t) = 1 * 4800 * e^t = 4800 * e^t

f'(3) = 4800 * e³ ≈ 96.410,58

Das müsste bedeuten (ich bin mir nicht ganz sicher und lasse mich gerne korrigieren), dass am 3. Tag seit dem erstmaligen Auftreten des Virus ca. 96.411 Rechner neu infiziert werden. 

6b)

10 Computer pro Sekunde = 10 * 3600 * 24 = 864.000

Also: 

1. Ableitung = 864.000 setzen

4800 * e^t = 864.000

e^t = 864.000/4.800 = 180

Die Umkehrfunktion der e-Funktion ist der natürliche Logarithmus ln, deshalb:

ln (e^t) = ln (180)

t ≈ 5,193

Also werden nach dieser Formel schon nach wenig mehr als 5 Tagen 10 Computer pro Sekunde infiziert. 

6c)

Bitte einmal selbst überlegen :-)

Zum Spielen mit Ableitungen der e-Funktion empfehle ich 

matheguru.com/rechner/ableiten

 

Besten Gruß

Comments

zu den Aufgabe 5b) verstehe ich noch nicht ganz, warum die Lösung [t – 2 > 4 für t > 6] ist. Also ich überlege mir ganze Zeit warum ein Zahl 6 gibt?

zu den Erklärung von dir am Anfang wusste ich nicht, dass in der Ableitung nicht ändern würde. Ich danke dir. Aber was ist mit Beispiel, wenn ich eine Aufgabe habe mit den Wurzeln und so? Siehe unten Beispiele ... Wird das anders gerechnet oder bleibt auch bei der Ableitung das gleiche?

1. Beispiel: \( \sqrt{e} * x \)
2. Beispiel: \( 4 e^{x}-3 x^{e} \)
3. Beispiel: \( 0,5 e^{x}-e^{*} x^{2} \)
4. Beispiel: \( \left(e^{-x}+x\right)^{2} \)

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zu Aufgabe 5b)

Es wurde berechnet, dass der Anstieg der Funktion im Punkt Y (0|t) 

t - 2 beträgt. 

Er beträgt also für

f₁(t): 1 - 2 = -1, 

für f₂(t): 2 -2 = 0

für f₃(t): 3 - 2 = 1

...

für f₆(t): 6 - 2 = 4, also die gleiche Steigung wie die von y = 4x

für f₇(t): 7 - 2 = 5, hier ist also die Steigung größer als die von y = 4x

Also ist für f₇(t), f₈(t) etc. die Steigung größer als 4; deshalb t > 6.

Zu den Beispielen: 

1. f(x) = √e * x = e^1/2 * x 

Hier taucht ja im "e-Term" kein x auf, man kann dies also als Konstante betrachten. Folglich wäre die Ableitung f'(x) = e^1/2 * 1 = √e

2. f(x) = 4 * e^x - 3 * x^e

Summenregel: Einzeln Ableiten

f'(4 * e^x) = 4 * e^x

f'(-3 * x^e) = -3 * e * x^e-1 

Hier ist e eine Konstante, also wird der Ausdruck mit dem Exponenten multipliziert und dann der Exponent um 1 verringert.

Also insgesamt

f'(x) = 4 * e^x - 3 * e * x^e-1

3.

f(x) = 0,5*e^x - e * x²

Wieder einzeln ableiten

f'(0,5 * e^x) = 0,5 * e^x

f'(-e * x²) = -2e * x

Denn e ist hier einfach eine Konstante. 

Insgesamt

f'(x) = 0,5 * e^x - 2e * x

4.

f(x) = (e^-x + x)²

Das ist relativ kompliziert, weil Du hier auch die "Kettenregel" anwenden musst. Gib diese Funktion bitte einmal in

matheguru.com/rechner/ableiten

ein und schau Dir den Lösungsweg an.