Bestimmen vom Wert-X durch Gleichsetzen (e-Funktionsaufgabe)

Question

Aufgabe:

Grundinfos: \(f(x)= (-x^2+2)\cdot \mathrm{e}^{-0,5x+1}\) , \(f'(x)= (0,5x^2 -2x-1)\cdot \mathrm{e}^{-0,5x+1}\)

Der Graph von f besitzt im Modellierungsbereich zwei Stellen x1 und x2 mit einer Steigung von m= 0,75.

 1.bestimmen Sie x1 und x2 mit einer Steigung auf zwei Nachkommastellen genau.

(zur Kontrolle: Auf eine Nachkommastelle gerundet gilt x1 ca.6,5 und x2 ca.8,0)

2. zwischen den Punkten P1(x1 /f(x1) und P2(x2/f(x2) soll eine geradlinige Uferbefestigung angelegt werden.

Ermitteln Sie die Länge dieser Uferbefestigung.

Problem/Ansatz:

Als Ansatz für die Erste Aufgabe habe ich damit angefangen die Gleichung mit der ersten Ableitung von f(x) gleichzusetzen, da es um die Steigung geht und diese von f'(x) beschrieben wird. Dann hatte ich folgendes stehen \((0,5x^2-2x-1)\cdot \mathrm{e}^{-0,5x+1} = 0,75\). Um weiter zurechnen habe ich versucht 0,75 rüber zu holen und dann alles = 0 zusetzen um die 2 X-Werte erhalten zu können, da komme ich aber nicht auf ein übereinstimmendes Ergebnis ( mit dem Kontrollergebnis) , dann hatte ich noch ein Ansatz mit dem ln im Kopf, da weiß ich allerdings nicht wie ich vorgehen soll und wie man den ln von der linken Seite der Gleichung berechnen kann. Bei der Aufgabe 2 habe ich leider gar keine Ansätze. Deshalb wäre ich über jede Hilfe glücklich, Danke.

Comments

f(x)= (-x²+2)*e^-0,5x+1 , f(x)= (0,5x^2 -2x-1)*e^-0,5x+1

Das sind zwei Unterschiedliche Funktionen, die den gleichen Namen haben.

Gib unterschiedlichen Funktionen nicht den gleichen Namen. Problem dabei ist nämlich ...

Der Graph von f besitzt

... ich weiß jetzt nicht, welche der beiden Funtkionen du meinst.

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Die erste Funktion ist die normal Funktion, die zweite sollte die erste Ableitung darstellen, leider ist der ableitungsstrich nicht mit abgebildet worden

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Der Ableitungsstrich ist ein Apostroph, nicht ein Akut über einem Leerzeichen.

Außerdem: Hast du in dem Term (-x²+2)*e^-0,5x+1 Klammern vergessen oder gehört der Summand 1 tatsächlich nicht mehr zum Exponenten?

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Vielen Dank für die Aufklärung, das erklärt natürlich, warum es nicht wie gewollt dargestellt wurde. Der Summand 1 sollte noch zum Exponenten dazugehören, also er ist Teil davon. (e^(-0,5x+1))

Answer 1

1. Löse

e^(1 - 0.5·x)·(0.5·x^2 - 2·x - 1) - 0.75 = 0

mit dem Newtonverfahren. Du kannst die Kontrollergebnisse als erste Näherung nutzen oder du machst erstmal eine Wertetabelle.

Der Modellierungsbereich wurde von dir nicht angegeben. Es gibt noch eine negative Lösung die wohl nicht im Modellierungsbereich liegt.

x = 6.490275382 ; x = 7.956430435

2. Nutze hier den Satz des Pythagoras.

d = √((7.956 - 6.49)^2 + (f(7.956) - f(6.49))^2) = 1.466

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, allerdings verstehe ich nicht ganz, welche Funktion ich nun in der Formel des Newtonverfahrens einsetzten soll. Ich habe oben in der Formel f'(x) und unten f''(x) verwendet, allerdings bin ich mir unsicher, ob ich f'(x)= e^(1 - 0.5·x)·(0.5·x2 - 2·x - 1) - 0.75 = 0 oder f'(x)= e^(1 - 0.5·x)·(0.5·x2 - 2·x - 1)  verwenden soll, da ich bei der Annäherung mich nie der Kontrollzahl nähere, sondern weiter mit dem X-Wert steige oder Falle. Deshalb wäre es Nett, wenn ich eine genauere Erklärung dazu bekommen könnte. Der Modellierungsbereich liegt zwischen 2,2 < x < 16

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f(x) = e^(1 - 0.5·x)·(0.5·x^2 - 2·x - 1) - 0.75

f'(x) = e^(1 - 0.5·x)·(- 0.25·x^2 + 2·x - 1.5)

x_neu = x - (e^(1 - 0.5·x)·(0.5·x^2 - 2·x - 1) - 0.75) / (e^(1 - 0.5·x)·(- 0.25·x^2 + 2·x - 1.5))

Beginnen wir also mal bei 3

x1 = 3
x2 = 4.661
x3 = 5.621
x4 = 6.180
x5 = 6.430
x6 = 6.487
x7 = 6.490
x8 = 6.490