Orthogonalmatrix angeben, die eine Diagonalmatrix ist

Question

Die Werte in der Matrix lauten -7 -4 4

                                                 -4 8 1

                                                 4 1 8

a) Bestimmen Sie die dazugehörigen Eigenräume. (Eigenwerte 9 und -9)

Hier habe ich die Vektoren (0,1,1) für EW9 und (4,1,-1) für EW -9 rausbekommen: Die Eigenräume sind dann X*(0,1,1) für EW9 und X*(4,1,-1) für EW -9.

b) Geben Sie eine orthogonale Matrix C an, für die C^-1AC eine Diagonalmatrix ist.

Diese Aufgabe hat ja etwas mit der Aufgabe A zutun. Ich habe gelesen, dass C hier einfach aus den Vektoren der 3 Eigenwerte besteht. 9 ist ein doppelter Eigenwert und deswegen habe ich versucht, in 2 Spalten (0,1,1) und in die letzte (4,1,-1) einzusetzen. Die Matrix, die da rauskommt ist aber nicht invertierbar. Wie ist diese Aufgabe zu lösen?

Comments

Zu (a):  Die von dir ermittelten Eigenräume sind beide eindimensional. Der Hinweis besagt jedoch, dass einer der Eigenräume zweidimensional sein muss.

Answer 1

zu a) 

Ich bekomme (1;0;4)^T  und ( -1 ; 4 ; 0 )^T  zum Eigenwert 9  

und  (4,1,-1)^T   für EW -9

Also ist eine Basis mit lauter Eigenvektoren 

 (1;0;4)^T  und ( -1 ; 4 ; 0 )^T  und  (4,1,-1)^T   .

und das sind dann die Spalten von C.