Per Induktion zeigen, dass alle Matrizen in die reduzierte Zeilenstufenform können

Question

Zeigen Sie per Induktion nach m: Jede Matrix A ∈Mat_m,n (K) lässt sich durch eine geeignete Anwendung von Zeilenumformungen in eine Matrix A' überführen, die reduzierte Zeilenstufenform besitzt.

Beweis per Induktion:

Induktionsstart: m = 1

am1

am2

.....

Diese Matrix befindet sich bereits in der Zeilenstufenform, weil der erste von 0 verschiedene Eintrag 1 sein muss

und falls es eine 0 gibt dann kan es danach keine 1 geben.

Sie ist auch reduziert, weil es bei einer 1 in einer Zeile "nur noch Nullen gibt".

Induktionsschritt: m --> m + 1

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Ab hier weiß ich leider nicht weiter. Würde mich über jede Hilfe freuen.

Comments

\(m=1\) heisst doch, dass die ganze Matrix nur aus einer Zeile besteht.

Answer 1

Hi,

wie Fakename bereits sagte, hast du für \(m=1\) nur eine Zeile, das ist also trivial :)

Induktionsschritt:

Sei \(A_{m,n} \in Mat_{m,n}\), \(a_{m,1} \in Mat_{m,1}\).

Definiere \(A := \begin{pmatrix} A_{m,n} \\ a_{m,1} \end{pmatrix} \).

Mit dem Induktionsvoraussetzung kannst du die ersten \(n\) Zeilen der Matrix \(A\) in reduzierte Zeilen-Stufen-Form bringen. Wir betrachten also nun \(\begin{pmatrix} rZSF(A_{m,n}) \\ a_{m,1}\end{pmatrix}\). Wie kannst du nun weiter machen?