a) https://www.mathelounge.de/57216/untergruppen-der-symmetrischen-gruppe-s3
c) die Inversen für alle Elemente aus ℤ7 \ {0} bezüglich ⊙.
Suche also jeweils x ∈ ℤ7 \ {0} mit
1⊙x=1 ==> x=1
2⊙x=1 ==> x=4 denn 2⊙4= (2*4) mod 7 = 8 mod 7 = 1
3⊙x=1 ==> x=5 denn 3⊙5= (3*5) mod 7 = 15 mod 7 = 1
etc.
b) Welche Teilmengen von ℤ7 \ {0} sind bezüglich ⊙ eine Gruppe?
Jedenfalls muss 1 drin sein (neutr. El.).
jetzt kann man ja was probieren:
wenn 2 auch drin ist, dann auch 2⊙2=4
damit hast di ( siehe c) auch schon mal das Inverse zu 2
mit drin. Außerdem ist die Menge M = { 1 ; 2 ; 4 } abgeschlossen
bzgl. ⊙; denn 4⊙4 = 16 mod 7 = 2 ist wieder in der Menge
und jede andere Multiplikation von Elementen aus M auch.
Also ist ( M ; ⊙) eine Untergruppe von ( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).
Entsprechend kannst du statt mit der 2 ja mal mit der 3 beginnen.
Da muss jedenfalls das Inverse , also 5 , mit drin sein.
Und 5⊙5 = 25 mod 7 = 4 muss drin sein, damit es abgeschlossen
ist, dann aber (s.o. ) auch 2 etc., also wird es die ganze Gruppe ( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).
Wenn du anfangs entsprechend die 6 ( entspricht der -1 ) hinzu nimmst,
hast du {1;6} als mögliche Untergruppe. Insgesamt also die Untergruppen
({1}, ⊙ )
({1;6}, ⊙ )
( { 1 ; 2 ; 4 } , ⊙ )
( ℤ7 \ {0} ; ⊙ ).
d) Du suchst also x und n aus ℤ mit
124*x = 1111*n + 1
da ggT(124,1111) = 1 ist (siehst du leicht
wegen 1111=11*101 und 124=4*31 )
und der Überlegung
124*x - 1111*n = 1
siehst du, dass das mit dem erweiterten
euklidischen Algorithmus geht:
https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus#Funktionsweise_am_Beispiel
Ich komme da auf 124*224-25*1111=1
also ist 224 das gesuchte Inverse.
