die gegebene Relation R ist keine Äquivalenzrelation denn es gilt nicht 3 ~ 3 (verletzte Reflexivität). Außerdem gilt 1 ~ 5, aber nicht 5 ~ 1 (verletzte Symmetrie).
Nimmt man diese beiden Elemente jedoch heraus aus der Menge, so bildet die Menge {1, 2, 4}, die man dadurch erhält, mit der Adjazenzmatrix eine Äquivalenzrelation, da gilt
1 ~ 1, 2 ~ 2, 4 ~ 4 (Reflexivität),
1 ~ 2 und 2 ~ 1, 2 ~ 4 und 4 ~ 2, 4 ~ 1 und 1 ~ 4 (Symmetrie),
sowie 1 ~ 2 ~ 4 (Assoziativität).
Die Äquivalenzrelation impliziert also nur eine einzige Äquivalenzklasse.
Die Adjazenzmatrix, die im obigen Sinne eine Äquivalenzrelation darstellen soll, muss symmetrisch sein, da sonst die Symmetrie der Relation verletzt ist. Und genau dann wenn die Matrix symmetrisch ist, beschreibt sie eine Äquivalenzrelation im obigen Sinne.
Entfernst du nun die Spalten 3 und 5, sowie die Zeilen 3 und 5, so ergibt sich schließlich eine symmetrische Matrix, von der wir ja schon wissen, dass sie eine Äquivalenzrelation in obigem Sinne impliziert.
MfG
Mister