Hallo
Man kann z.B exakt die Querschnittsfläche berechnen unter der Voraussetzung, dass die Funktion der Aussenwand eine Funktion kleiner oder gleich 3. Grades beschreibt.
Bei dem vorliegenden Fass kann man z.B von einer Parabel y = a x^2 +b ausgehen. Dann ergeben sich a und b bei Betrachtung der in der Zeichnung unteren rechten Viertel der Aussenwand aus (das Koordinatenkreuz wird durch die Mitte geführt):
(1) f(0) = -100/2 = -50
(2) f(200/2) = f(100) = 0
a * 0^2 + b = -50 ==> b = -50
a * 100^2 +b = 0
a* 100^2 -50 = 0 ==> a = +50/100/100 = +1/200
(Die Parabel ist nach oben geöffnet; daher ist das Vorzeichen des Koeffizienten a positiv.)
Es ist also für ein Viertel der Querschnittsfläche zu integrieren: y = f(x) = +1/200 x^2 -50
Der Integrand ist eine Funktion kleiner 4. Grades und daher exakt mit der Keplerschen Fassregel berechenbar:
A = ∫ (0, 200/2) 1/200 x^2 -50 dx = ∫ (0, 100) 1/200 x^2 -50 dx = h/3*( 1*f(x0) +4*f(x0 +h) +1*f(x0 +2*h) )
(x1 -x0)/6*( 1*f(x0) +4*f(x0 +(x1 -x0)/2) +1*f(x1) ) = (100 -0)/6*( 1*f(0) +4*f(0 +50) +1*f(100) ) =
(100 -0)/6*( 1*(1/200*0^2 -50) +4*(1/200*50^2 -50) +1*f(1/200*100^2 -50) ) = 100/6*(1*(-50) +4*(-37.5) +1*(0))
= 50/3*(-50 -150) = -50/3*(200) = -10000/3
Die Querschnittsflaeche beträgt also Q = 4*A = |4*(-10000/3)| = 40000/3 = 13333 1/3 cm^2
Probe A = ∫ (0, 200/2) 1/200 x^2 -50 dx = ∫ (0, 100) 1/200 x^2 -50 dx = { 1/600 x^3 -50 x } {0, 100}
= 1000000/600 -5000 -0 = 10000/6 -5000 = 5000/3 -5000 = -10000/3 (w)
Bei einer Funktion 3. Grades als Integranden ergibt sich
A = ∫ (x0, x0 +2h) ax^3 +bx^2 +cx +d dx = (x0, x0 +2h) { a/4 x^4 +b/3 x^3 +c/2 x^2 +d x }
= a/4 (x0^4 +8h x0^3 +24h^2 x0^2 +32 h^3 x0 +16h^4 -x0^4) +b/3 (x0^3 +6h x0^2 +12h^2 x0 +8h^3 -x0^3)
+c/2 (x0^2 +4h x0 +4h^2 -x0^2) +d (x0 +2h -x0)
= a/4 (8h x0^3 +24h^2 x0^2 +32 h^3 x0 +16h^4) +b/3 (6h x0^2 +12h^2 x0 +8h^3)
+c/2 (4h x0 +4h^2) +d (2h)
= a (2h x0^3 +6h^2 x0^2 +8 h x0 +4h^4)
+b/3 (6h x0^2 +12h^2 x0 +8h^3)
+c (2h x0 +2h^2)
+d (2h)
Nach Kepler ergibt sich:
K = ∫ (x0, x0 +2h) ax^3 +bx^2 +cx +d dx
= h/3 * (
1*(a(x0 +2h)^3 +b*(x0 +2h)^2 +c*(x0 +2h) +d)
+4*(a(x0 +h)^3 +b*(x0 +h)^2 +c*(x0 +h) +d)
+1*(ax0^3 +bx0^2 +cx0 +d))
= h/3 * (
(1 +4 +1) ax0^3
+(6ah +12ah +b +4b +1b) x0^2
+(12ah^2 +12ah^2 +4bh +8bh +c +4c +c) x0
+(8ah^3 +4ah^3 +4bh^2 +4bh^2 +2hc +4hc +d +4d +d)
) = h/3 *( 6a x0^3 +(18ah +6b) x0^2 +(24ah^2 +12bh +6c) x0 +(12ah^3 +8bh^2 +6hc +6d))
= 2a h x0^3 +(6ah^2 +2bh^2) x0^2 +(8ah^3 +4bh^2 +2ch) x0 +(4ah^4 +8/3bh^3 +2h^2c +2hd)
a*(2h x0^3 +6h^2 x0^2 +8h^3 x0 +4h^4)
+ b/3*(6h x0^2 +12h^2 x0 +8 h^3)
+ c*(2h x0 +2h^2)
d*(2h)
A - K = a (2h x0^3 +6h^2 x0^2 +8 h^3 x0 +4h^4)
+b/3 (6h x0^2 +12h^2 x0 +8h^3)
+c (2h x0 +2h^2)
+d (2h)
-
a*(2h x0^3 +6h^2 x0^2 +8h^3 x0 +4h^4)
+ b/3*(6h x0^2 +12h^2 x0 +8 h^3)
+ c*(2h x0 +2h^2)
d*(2h)
= 0
Eine Funktion 3. Grades kann also ebenfalls exakt mit der Keplerschen Fassregel integriert werden, ohne eine Konstante hinzuaddieren zu muessen.
