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Exponentialverteilte Zufallsgröße: Berechnen Sie die Varianz von: Z= 3X-2Y
Um die Varianz der Zufallsvariablen \(Z = 3X - 2Y\) zu berechnen, wo \(X\) exponentiell verteilt ist mit Parameter \(\lambda = 3\) und \(Y\) normalverteilt ist mit \(\mu = 2\) und \(\sigma^2 = 4\), nutzen wir die grundlegenden Eigenschaften von Varianzen und die gegebene Information über die Korrelation zweier Variablen. Berücksichtigt wird auch, dass die Korrelation \(℘ (X,Y) = 0,5\) ist.
Die Varianz einer Linearkombination von Zufallsvariablen \(Z = aX + bY\) (wobei \(a\) und \(b\) Konstanten sind) ist gegeben durch:
\(
Var(Z) = a^2 Var(X) + b^2 Var(Y) + 2abCov(X,Y)
\)
Dabei ist \(Cov(X,Y)\) die Kovarianz zwischen \(X\) und \(Y\).
Schritt 1: Bestimme \(Var(X)\) und \(Var(Y)\)
Für eine exponentialverteilte Zufallsvariable \(X\) mit dem Parameter \(\lambda\), gilt:
\(
Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}
\)
Mit \(\lambda = 3\), haben wir:
\(
Var(X) = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}
\)
Da \(Y\) normalverteilt ist mit \(\sigma^2 = 4\), gilt:
\(
Var(Y) = 4
\)
Schritt 2: Ermittel die Kovarianz zwischen \(X\) und \(Y\)
Die Kovarianz lässt sich aus der Korrelation ermitteln, indem man die Korrelation mit dem Produkt der Standardabweichungen der beiden Variablen multipliziert:
\(
Cov(X,Y) = ℘(X,Y) \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y
\)
Wobei \(\sigma_X\) die Standardabweichung von \(X\) und \(\sigma_Y\) die Standardabweichung von \(Y\) ist. Aus den Varianzen von \(X\) und \(Y\) haben wir \(\sigma_X = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}\) und \(\sigma_Y = \sqrt{Var(Y)} = \sqrt{4} = 2\).
Also,
\(
Cov(X,Y) = 0,5 \cdot \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{1}{3}
\)
Schritt 3: Berechne \(Var(Z)\)
Setze die Werte in die Formel für \(Var(Z)\) ein mit \(a = 3\) und \(b = -2\):
\(
Var(Z) = 3^2 Var(X) + (-2)^2 Var(Y) + 2 \cdot 3 \cdot (-2) \cdot Cov(X,Y)
\)
\(
Var(Z) = 9 \cdot \frac{1}{9} + 4 \cdot 4 - 12 \cdot \frac{1}{3}
\)
\(
Var(Z) = 1 + 16 - 4 = 13
\)
Also, die Varianz von \(Z = 3X - 2Y\) ist \(13\).
