Kritische Punkte einer Funktion bestimmen wer hat jetzt recht?

Question

ich hätte kurz eine Frage also es ist eine funktion gegeben
f(x,y)= x³-y³-x²+xy-y²

und wir sollen überprüfen ob (0,0) und (1,−1) kritisch punkte sind und deren Typ bestimmen

Ich habe es zusammen mit meinen studienkollegen gelöst aber ich behaupte dass der Punkt (0,0) kein hochpunkt ist sondern ein sattelpunkt, weil 6⋅0−2=−2 und das ist <0 und (−2⋅−2)−(1⋅1)=3>0

meine kollegen behaupten aber das gegenteil was ist jetzt richtig?

Ich hab eine Datei vom unserem Lösungsweg als anhang angefügt

Answer 1

für jeden kritischen Punkt von f gilt:  

f_xx • f_yy - f_xy²    > 0 → Extrempunkt
                        < 0  → Sattelpunkt
                        = 0    erfordert weitere Betrachtung mit der Hessematrix
im Fall "Extremum" weiter:
f_xx  < 0  →  Hochpunkt
      > 0  →  Tiefpunkt
      = 0  kann nicht vorkommen

ich erhalte

f_xx(x,y) = 6·x - 2

f_xy(x,y) = 1

f_yy(x,y) = - 6·y - 2

im kritischen Punkt (0,0) gilt also

f_xx(0,0) = -2  ,    f_yy(0,0) = -2   ,   f_xy(0,0) = 1

f_xx * f_yy - f_xy²  =  4 - 1 = 3  >  0    →  Extrempunkt

f_{xx =}  - 2  < 0   →   Hochpunkt  

Deine Kollegen haben also recht

Bestätigung von wolframalpha:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize+x%5E3+-+y%5E3+-+x%5E2+%2B+x%C2%B7y+-+y%5E2

Gruß Wolfgang