Verstehe nicht so ganz wie man Heaviside und Laplace berechnet.
a) f1(t) := h0(t) − h1(t) wie kommt man hier auf die Gleichung?
(L(ha(t)))) (s) = (L(ha(t) · 1))) (s). Wie kommt man hier auf die 1?
f2(t) := sin(t) − hπ(t) · sin(t) = sin(t) − hπ(t) · (− sin(t − π)) wieso steht am Anfang sin(t) muss da nicht h0(t)· sin(t) stehen
und wie kommt man auf die weitere Umformung (− sin(t − π) ?
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierte der Funktionen \( f_{1}, f_{2}:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R} \)
(a) \( \quad f_{1}(t):=\left\{\begin{array}{ll}{1,} & {0 \leq t<1} \\ {0,} & {1 \leq t}\end{array}\right. \)
(b) \( \quad f_{2}(t):=\left\{\begin{array}{ll}{\sin (t),} & {0 \leq t<\pi} \\ {0,} & {\pi \leq t}\end{array}\right. \)
indem Sie zunächst \( f_{1}(t) \) und \( f_{2}(t) \) mit Hilfe der Heaviside-Funktion \( h_{a}(t) \) für geeignete
\( a \in \mathbb{R} \) beschreiben.
Musterlösung: Mit dem Verschiebungssatz (Satz 2.11) gilt \( \mathcal{L}\left(h_{a} f(t-a)\right)=e^{-a s} \mathcal{L}(f(t)) \) für \( a \geq 0 \)
(a) Es ist \( f_{1}(t):=h_{0}(t)-h_{1}(t) . \) Mit dem Verschiebungssatz ( 2.11) und Tabelle 1 gilt
$$ \left.\left.\left(\mathcal{L}\left(h_{a}(t)\right)\right)\right)(s)=\left(\mathcal{L}\left(h_{a}(t) \cdot 1\right)\right)\right)(s)=\frac{e^{-a x}}{s}, \quad \text { für } a \geq 0 $$
Es folgt mit der Linearität der Laplace-Transformation (Satz 2.3):
$$ \left.\left.\left.\left(\mathcal{L}\left(f_{1}\right)\right)\right)(s)=\left(\mathcal{L}\left(h_{0}\right)\right)\right)(s)-\left(\mathcal{L}\left(h_{1}\right)\right)\right)(s)=\frac{1}{s}\left(e^{0}-e^{-s}\right)=\frac{1}{s}\left(1-e^{-s}\right) $$
(b) Es ist
$$ f_{2}(t):=\sin (t)-h_{\pi}(t) \cdot \sin (t)=\sin (t)-h_{\pi}(t) \cdot(-\sin (t-\pi)) $$
und daher folgt mit der Linearität (Satz \( 2.3), \) dem Verschiebungssatz (Satz 2.11 ) und Tabelle 1
$$ \left(\mathcal{L}\left(f_{2}\right)\right)(s)=(\mathcal{L}(\sin (t)))(s)+\left(\mathcal{L}\left(h_{\pi}(t) \cdot \sin (t-\pi)\right)\right)(s)=\frac{1}{s^{2}+1}+\frac{e^{-\pi s}}{s^{2}+1} $$
