um zu untersuchen, ob der Nachfolger von bc + b + c eine Primzahl sein kann, stellen wir diesen dar:
\( b \cdot c + b + c + 1 = b (c + 1) + c + 1 = (b+1)(c+1) \).
Hieran sieht man, dass es keine nichttrivialen Lösungen für diese Gleichung gibt: Soll der Nachfolger von bc + b + c eine Primzahl sein, so muss gelten b = 0 oder c = 0.
Um zu überprüfen, welche Paare positiver ganzer Zahlen (b, c) die Gleichung \( b \cdot c + b + c = 2013 \) erfüllen, überprüfen wir, welche Paare positiver ganzer Zahlen (b, c) die Gleichung \( (b+1)(c+1) = 2014 \) erfüllen.
Dazu zerlegen wir 2014 in ihre Primfaktoren: \( 2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53 \).
Die Liste möglicher Zahlen (b, c) beginnt so:
\( b = 2 - 1 = 1, c = 19 \cdot 53 - 1 = 1006 \).
\( b = 19 - 1, c = 2 \cdot 53 - 1 = 105 \).
\( b = 53 - 1, c = 2 \cdot 19 - 1 \).
\( b = 2 \cdot 19 - 1, c = 53 - 1 \).
etc....
MfG
Mister