Kann der Nachfolger von b*c+b+c eine Primzahl sein?

Question

Habe Probleme mit einer Mathe Aufgabe könntet ihr mir helfen ? Die Aufgabe lautet:

1. Untersuchen Sie, ob für zwei positive ganze Zahlen ... geordneten Paare [urheberrechtlich geschützten Text entfernt]

Wäre nett, wenn ihr mir nur den Ansatz sagen könntet. Braucht diese Aufgaben nicht für mich zu rechnen. Thx im voraus.

Comments

Das ist eine Aufgabe aus der Matheolympiade.

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Lustig, dass einer auf die gleiche Idee kommt wie ich. Matheolympiade eben...

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Urheberrechtlich geschützten Text entfernt.

Answer 1

Grundsätzlich werden hier keine Aufgaben aus der Matheolympiade besprochen.

Man könnte aber b·c + b + c auch schreiben als (b + 1)·(c + 1) - 1.

Eventuell hilft das bei der Untersuchung.

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Der Nachfolger von b*c + b + c lautet b*c + b + c + 1

b*c + b + c + 1
= b(c + 1) + (c + 1)
= (b + 1) * (c + 1)

Damit kann der Nachfolger von b*c + b + c keine Primzahl sein.

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Finde alle positiven ganzen Zahlen mit b * c + b + c = 2013

b*c + b + c = 2013
b*c + b + c + 1 = 2014
(b + 1) * (c + 1) = 2014
(b + 1) * (c + 1) = 2 * 19 * 53

b = 1, c = 1006
b = 18, c = 105
b = 37, c = 52
b = 52, c = 37
b = 105, c = 18
b = 1006, c = 1

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Wieso die Primfaktorzerlegung.?

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Damit man weiß aus welchen ganzzahligen Faktoren 2014 besteht.

Answer 2

um zu untersuchen, ob der Nachfolger von bc + b + c eine Primzahl sein kann, stellen wir diesen dar:

\( b \cdot c + b + c + 1 = b (c + 1) + c + 1 = (b+1)(c+1) \).

Hieran sieht man, dass es keine nichttrivialen Lösungen für diese Gleichung gibt: Soll der Nachfolger von bc + b + c eine Primzahl sein, so muss gelten b = 0 oder c = 0.

Um zu überprüfen, welche Paare positiver ganzer Zahlen (b, c) die Gleichung \( b \cdot c + b + c = 2013 \) erfüllen, überprüfen wir, welche Paare positiver ganzer Zahlen (b, c) die Gleichung \( (b+1)(c+1) = 2014 \) erfüllen.

Dazu zerlegen wir 2014 in ihre Primfaktoren: \( 2014 = 2 \cdot 19 \cdot 53 \).

Die Liste möglicher Zahlen (b, c) beginnt so:

\( b = 2 - 1 = 1, c = 19 \cdot 53 - 1 = 1006 \).

\( b = 19 - 1, c = 2 \cdot 53 - 1 = 105 \).

\( b = 53 - 1, c = 2 \cdot 19 - 1 \).

\( b = 2 \cdot 19 - 1, c = 53 - 1 \).

etc....

MfG

Mister

Comments

ich kann ihre antwort sehr gut nachvollziehen, allerdings erschließt sich mir nicht so ganz der punkt warum wir beim zweiten teil der aufgabe, dem teil mit der primfaktorzerlegung, diese für 2014 durchführen? und wie kommen sie auf die "-1" hinter der "eigentlichen" Zahl für b bzw. c?

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Der Grund ist: 2014 ist der Nachfolger von 2013.

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...ja, das war mir auch klar, könnten sie aber vielleicht genauer erläutern, woher diese "-1" stammt? für mich ist das anscheinend nicht so offensichtlich wie für sie :/ *grübel*

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Na der Nachfolger von

\( b \cdot c + b + c \) ist

\( b \cdot c + b + c + 1 = (b+1)(b+1) \).

Wenn

\( b \cdot c + b + c = 2013 \),

dann ist \( b \cdot c + b + c + 1 = (b+1)(c+1) = 2014 \).

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vielen Dank!!
wenn ich sie da jetzt also richtig verstanden habe, dann gibt es insgesamt 6 mögliche paare:

b= 1, 1006, 37, 52, 105, 18
c=1006, 1, 52, 37, 18, 105

stimmts?

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Stimmt, zumal b und c "vertauschungsäquivalent" sind, reduzieren sich die Möglichkeiten auf 3. Aber grundsätzlich, ohne die Möglichkeit der Vertauschung von b und c, sind es 6 Möglichkeiten.

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sind es jetzt 3 oder 6 lösungen? :D

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In diesem speziellen Fall, da \( (b+1)(c+1) \) dasteht, sind es drei Lösungen. Die Menge geordneter Paare in der Lösungsmenge ist nichtsdestotrotz sechs.

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ah , verstehe, habe die wörter lösung und lösungsmenge durcheinander gebracht :D
ist ja wie als ob ich behaupten würde 1006 und 1006 wären zwei verschiedene LÖSUNGEN *kopfschüttel*

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Ja, aber die formale Lösungsmenge aus geordneten Paaren, das heißt Paaren mit nicht vertauschbaren Elementen, besteht aus 6 Elementen.