Lokale Extremstelle der Funktion

Question

Gegeben sind die Funktionen f mit

f(x) = x^3 - t * x^2 - (t+1) * x 

(t=R)

Ich soll zeigen, dass es eine lokle Minimumstelle und eine lokale Maximumstelle gibt.

Nun hab ich versucht die Ableitung zu bilden, aber weiß nicht wie ich das jz machen soll mit dem t?

Mir kommt f‘(x) = 3x-t raus?

Answer 1

f(x) = x^3 - t * x^2 - (t+1) * x
f ´( x ) = 3x^2 - 2tx - ( t + 1 )
f ´´ ( x ) = 6x - 2t

3x^2 - 2tx - ( t + 1 )  = 0 | : 3
x^2 - 2/3 * tx - ( t + 1 ) / 3 = 0
quadratische Ergänzung ( t/3 )^2
x^2 - 2/3 * tx  + ( t/3)^2 = ( t/3 + 1/ 3  + ( t/3)^2
( x - t/3 ) ^2 = t/3 + 1/ 3  + ( t/3)^2
x - 1/3 = ±√ [  t/3 + 1/ 3  + ( t/3)^2 ]
x = 1/ 3 ±√ [  t/3 + 1/ 3  + ( t/3)^2 ]

So. ich bin jetzt müde.
Feststellen wieviel Lösungen bei welchem
t es gibt

Über die 2.Ableitung Art des Extrempunkt
bestimmen.
Kann morgen weitergehen.

Comments

f‘(x) = 3x^2 -2tx -t -1 = 0

Wie setzt ich die Gleichung 0?

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die x-Stellen der Extrempunkte haben wir
jetzt über pq-Formel, Mitternachtsformel oder
die quadratische Ergänzung ermittelt.

Die Lösungen enthalten die Variable t.
Die Extremstellen sind somit auch von t abhängig.

Hier die Graphen von
t = 1 ( blau )
t = 2 ( rot )
t = 3 ( grün )

Bei Bedarf weiterfragen.

Answer 2

Gegeben sind die Funktionen f mit
f(x) = x^3 - t * x^2 - (t+1) * x,   (t=R)

Ich soll zeigen, dass es eine
lokale Minimumstelle und eine
lokale Maximumstelle gibt.

Die Funktionen f sind ganzrationale Funktionen dritten Grades mit globalem (-/+)-Vorzeichenwechsel. Sie haben genau dann eine lokale Tiefstelle und eine lokale Hochstelle, wenn die Steigung der Wendetangente negativ ist.

Versuche, diese Aussage zu begründen, und zeige dann, dass die Steigung der Wendetangente negativ ist. Ob das für alle t der Fall ist, wie das der Aufgabentext nahelegt, habe ich nicht überprüft, vielleicht ist es nur manchmal der Fall.