Das Produkt von 5 aufeinanderfolgende natürliche Zahlen ist durch 5 teilbar

Question

Hallo ich muss zeigen ( beweisen ) dass das Produkt von 5 aufeinanderfolgende natürliche zahlen durch 5 teilbar ist ..

Mein Ansatz: 5| n * ( n+1) * (n+1) * ... * (n+4)

Habe das ausmultipliziert allerdings kann ich am Ende nicht ausklammern weil ich n^5 alleine stehen habe ... 

kann mir jemand bitte sagen wo mein Fehler liegt ?

 

Comments

Das könnte daran liegen, dass dein Ansatz alles auszumultiplizieren, kontraproduktiv ist.

Überlege dir erstmal , weshalb 1*2*3*4*5 und 23*24*25*26*27 jeweils durch 5 teilbar sind und verallgemeinere.

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Fehler bei Auflösen der Klammern:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=n(n%2B1)(n%2B2)(n%2B3)(n%2B4)%3D

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@Gast wir haben das in der Vorlesung so gemacht Bzw. sollten es so machen ..

@gast2016 aber dort wird mir genau das gleiche gezeigt auf deinem Link.

Im Endeffekt habe ich 5| n^5 + 10n^4 + 30n^3 +50n^2 + 24n 

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Na wenn ihr das so machen sollt, dann würde ich wie folgt weitermachen:

Edit 30n^3-> 35n^3

die drei Summanden 10n^4 + 35n^3 +50n^2=5*(2n^4 + 7n^3 +10n^2) sind offensichtlich durch 5 teilbar.

Bleibt also noch zu zeigen, dass n^5+24n=n(n^4+24) durch 5 teilbar ist.

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Statt 30n^3 muss es 35n^3 lauten.

Answer 1

Schreibe das Produkt geschickter so: (n-2)·(n-1)·n·(n+1)·(n+2). Es gibt fünf Fälle:

1.) n ist selbst durch 5 teilbar. Dann sorgt der Faktor 5 für die Gültigkeit der Behauptung.

2.) n lässt beim Teilen durch 5 den Rest 1. Dann ist n-1 durch 5 teilbar.

3.) n lässt beim Teilen durch 5 den Rest 2. Dann ist n-2 durch 5 teilbar.

4.) n lässt beim Teilen durch 5 den Rest 3. Dann ist n+2 durch 5 teilbar.

5.) n lässt beim Teilen durch 5 den Rest 4. Dann ist n+1 durch 5 teilbar.

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Aber das ist gar nicht so wie in der Vorlesung ..

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Ich war nicht in eurer Vorlesung. Ich habe nur selbständig gedacht.