Wie kann ich den maximalen Flächeninhalt eines Rundbogenfensters berechnen?

Question

Gegeben ist: Umfang U
Gesucht: Rundbogenfenstermaße, sodass der Flächeninhalt  ("großer Lichteinfall") maximal wird

Ich habe das als Hausaufgabe auf. Angehängt befindet sich das, was ich schon habe

Leider komme ich einfach nicht weiter.

Answer 1

Mir scheint bis dahin alles richtig zu sein. Du musst jetzt die Ableitung nur noch null setzen und dann nach r auflösen. Damit kannst du h ausrechnen und beides in die Formel für die Fläche einsetzen.

Comments

Die Frage ist aber, was ist der Umfang U? Es befinden sich 2 Unbekannte  darin. Oder verstehe ich gerade etwas falsch?

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Der Umfang ist die Größe die gegeben ist. Du kannst die maximale Fläche nur in Abhängigkeit vom Umfang U ausrechnen.

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Es wurde aber keine Zahl gegeben

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Richtig. Statt einer Zahl bleibt da einfach nur das U stehen.

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Ok dann versuche ich das mal. Danke

Answer 2

U = 2 * r + 2 * h + 2 * r * π / 2
U= 2 * r + 2 * h + r * π
h = ( U - 2 * r - r * π ) / 2

A = 2  * r * h  +  r^2 * π / 2
A = 2  * r * ( U - 2 * r - r * π ) / 2  +  r^2 * π / 2
A = U * r - 2 * r^2 - 1/2 * PI * r^2
A ´ ( r ) = U - 4 * r - π * r
Extremwert
U - 4 * r - π * r = 0
U = r * ( 4 + π )
r = U / ( 4 + π )

Jetzt irgendwo r einsetzen um h zu berechnen.

Bitte alles nachprüfen.