Wie zeigt man, ob etwas nicht rational, sondern reell sein muss?

Question

Sei x eine reelle Zahl, die die Gleichung x⁴ + 3x² + 3x − 2 = 0 erfüllt. Zeigen Sie,
dass x nicht rational ist.

Ich habe überlegt einen Beweis durch Widerspruch zu machen und x erstmal durch einen Bruch darzustellen, nur komme ich nicht weiter.

Wäre eine Fallunterscheidung vielleicht doch der bessere Weg?

Comments

nicht rational, sondern reel sein muss?

\(x\in\mathbb{R}\) steht in der Aufgabe, das sollst Du nicht zeigen. Zeigen sollst Du \(x\not\in\mathbb{Q}\).

Ich habe überlegt einen Beweis durch Widerspruch zu machen und x erstmal durch einen Bruch darzustellen, nur komme ich nicht weiter.

Der Weg ist gut. Arbeite weiter daran.

Answer 1

Vewende den Satz über rationale Nullstellen: Für jede rationale Nullstelle eines ganzzahligen Polynoms gilt, dass ihr Zähler das Absolutglied und ihr Nenner den Leitkoeffizienten des Polynoms teilen müssen.