Bestimmen Sie (mit Beweis), ob die Zahl 11sqd11+12sqd12+13 rational ist oder nicht

Question

Bestimmen Sie (mit Beweis), ob die Zahl \( 11 \sqrt{11}+12 \sqrt{12}+13 \) rational ist oder nicht.

Kann mir jeman bei dem Beweis helfen??

Answer 1

Hallo

 darfst du benutzen dass √3 und √11 nicht rational sind? dann ist ein Widerspruchsbeweis am einfachsten.

lul

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darfst du benutzen dass √3 und √11 nicht rational sind?

Auch dann sehe ich noch nicht unbedingt, wie man damit zum Ziel kommt. Es ginge ja dann darum, zu zeigen, dass 24 √(3) + 11 √(11)  irrational sein muss.

Answer 2

ggT(3,11) = 1

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ggT(3,11) = 1

Klar. Aber wie schließt man daraus dann, dass etwa  der Term  24 √(3) + 11 √(11)  irrational sein muss ?

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Wäre er rational, dann auch sein Quadrat.

Answer 3

OK, schauen wir nochmals. Der Wert des Ausdrucks 11 √(11) + 12 √(12) + 13  wird natürlich genau dann rational, wenn auch  der Wert von  r:= 11 √(11) + 12 √(12) =  11 √(11) + 24 √(3)  rational ist, denn der zusätzliche Summand 13 ist für diese Entscheidung unerheblich. Natürlich ist zu vermuten, dass  r  irrational sein muss. Um zu einem Beweis durch Kontraposition zu kommen, nehmen wir einmal an, r sei (doch) rational. Dann müsste auch das Quadrat  r² = (11 √(11) + 24 √(3))²  =  3059 + 528 √(33) rational sein und dann, wie man leicht sehen kann, auch die Quadratwurzel  √(33).
Nach dem Satz, der besagt, dass die Quadratwurzel aus einer natürlichen Zahl entweder ganzzahlig oder aber irrational ist - und 33 offensichtlich keine Quadratzahl ist, folgt, dass √(33) , und damit auch r, tatsächlich irrational sein muss. Daraus folgt die Behauptung, dass der Wert des vorgegebenen Terms irrational sein muss.