Puh, ich kenne nur den folgenden Beweis (das wäre aber der Beweis, dass Dinge wie √2 irrational sind, man kann es aber wenn man will auf eine allgemeine Ebene bringen):
Die Wurzel aus 2 ist ja so definiert, dass man, wenn man sie quadriert, 2 erhält. Wenn die Wurzel aus 2 irrational wäre, so müsste diese Zahl sich logischerweise mit einem Bruch p/q darstellen lassen. Rationale Zahlen lassen sich nämlich IMMER als einen Bruch aus zwei ganzen Zahlen darstellen. Also nehmen wir mal an, dass die Wurzel aus 2 rational sei.
Nun nehmen wir an, dieser Bruch sei bereits vollständig gekürzt. Das heißt, p und q sind teilerfremd. Laut der Primfaktorzerlegung ist dann (p/q)² auch teilerfremd. Das heißt:
(p/q)² = 2
Nun quadrieren wir mal aus:
p²/q² = 2
Jetzt wird mit q² multipliziert:
p² = 2q²
Das heißt: p² hat die zwei als Teiler, somit logischerweise auch p:
p = 2a
Das setzen wir also für p ein:
(2a)² = 2q²
4a² = 2q²
2a² = q²
=> q hat als Teiler ebenfalls 2, da q² den Teiler 2 hat.
=> p und q haben den Teiler 2, aber p und q sollten doch teilerfremd sein!
Daraus folgt, dass die Annahme falsch sein muss, und Wurzel 2 irrational ist.
Ich hoffe, dass das etwa auf deine Frage hinaus läuft. Ich hab jetzt quasi das Gegenteil gezeigt, womit deine Aussage wahr ist - das nennt man auch Beweis durch Widerspruch.
Schau mal hier:
