Kann jedes b > a mit a ∧ b ∈ ℕ das Ergebnis einer Exponentialfunktion a^p mit p ∈ ℚ > 1 sein?

Question

Also, ich möchte wissen ob jede Zahl b > a mit a ∧ b ∈ ℕ das Ergebnis einer Exponentialfunktion a^p mit p ∈ ℚ⁺ > 1 sein kann. Wäre nett wenn mir jemand das erklären könnte.

Danke im Voraus

Answer 1

gelöscht, weil gelöschte Frage

Comments

Wow! hj erklärt ausführlich, rein sachlich anschaulich und ohne jede Polemik.

Der Tag wird in die Forumgeschichte eingehen.

Ich werde ihn vermerken in meinem Kalender.

Man würde sich ja fast reuen, wenn nicht ...

Natürlich siehst du sofort, dass das für a=1 ∈ ℕ  und b>1 nicht funktionieren kann, weil stets 1p = 1 ≠ b ist.

Natürlich nur, wenn man auf diese Idee kommt.

Der TS kam offenbar nicht auf sie, obwohl es so banal ist.

Der Hinweis auf ein Gegenbeispiel hätte vlt. auch genügt.

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Damit das Zitat nicht zusammenhanglos dasteht, hier eine Kopie meines ursprünglichen Kommentars :

Natürlich siehst du sofort, dass das für a=1 ∈ ℕ  und b>1 nicht funktionieren kann, weil stets 1^p = 1 ≠ b ist.

Aber auch sonst ist das nur in Ausnahmefällen möglich.
Ein Beispiel : a=3  und 3⁴ = 81 , 3⁵ = 243. Für b = 100 müsste es also eine Zahl p zwischen 4 und 5 geben, für die 3^p = 100 ist. Eine solche Zahl gibt es auch, sie wird mit p = log₃ 100 bezeichnet, aber sie ist nicht rational. Wäre sie es, so wäre p= r/s mit natürlichen Zahlen r und s und dann wäre 3^(r/s) = 100, also 3^r = 100^s. Die Zahl rechts ist eine 1 gefolgt von einigen Nullen, die Zahl links hat aber am Ende nicht einmal eine einzige Null.

PS : Dein ∧ am Anfang solltest du durch ein , ersetzen, denn ∧ steht zwischen Aussagen, nicht zwischen Zahlen.