Sei p^3 gerade <=> p gerade für p ∈ ℕ . Zeige 2^(1/3) ∉ ℚ

Question

kann mir jemand mit der Aussage oben weiterhelfen?

Ich bin etwas verzweifelt.

Irgendwie soll ich durch die Aussage

A) p³  gerade <=> p gerade  für p ∈ ℕ

auf  2^1/3 ∉ ℚ kommen aber ich verstehe nicht wie das gehen soll.

Gedanken/Ansatz:

Ich kann beweisen, dass 2^1/3 ∉ ℕ ist, weil die Aussage A) nicht gilt. Die Zahl kann man nicht durch zwei teilen, sodass das Ergebnis eine natürliche Zahl ergibt. Aber wie soll ich das jetzt auf die rationalen Zahlen erweitern?

Es wäre sehr lieb, wenn ihr mir helfen würdet. Wie gesagt ich bin hier so ein bisschen verzweifelt.

Answer 1

Das ist genauso wie wenn man zeigt, das \( \sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \)

Wenn \( \sqrt[3]{2} \in \mathbb{Q} \) gilt folgt, dass es teilerfremde Zahlen \( p,q \in \mathbb{Z} \) gibt mit $$ \sqrt[3]{2} = \frac{p}{q} $$ D.h. $$ 2 q^3 = p^3 $$ Wegen Deiner Voraussetzung folgt nun, dass \( p \) eine gerade Zahle ist, also \( p = 2r \) gilt. Daraus folgt \( q^3 = 4 r^3 \), also ist auch \( q \) eine gerade Zahl und \( p \) und \( q \) sind nicht teilfremd, im Gegensatz zur Annahme. Also gilt $$ \sqrt[3]{2} \notin \mathbb{Q} $$

Comments

Alles klar, ich glaube ich hab's kappiert! Vielen Dank!!!