Relation (∼) auf Symmetrie und Identitivität untersuchen und formal beweisen

Question

Aufgabe:

Die Relation (∼) muss man auf Reflexivität, Symmetrie, Identitivität und Transitivität

M := N² und (x1, x2) ∼ (y1, y2) :⇔ (x1 < y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2) fur  x1, x2, y1, y2 ∈ N.

Problem/Ansatz:

Zu zeigen dass die Relation reflexiv ist, ist kein Problem, dennoch habe ich Schwierigkeiten die Äquivalenz für die Symmetrie zu zeigen. Ich weiß dass die Relation identitiv und nicht symmetrisch ist, dennoch kann ich keines davon formal beweisen.

Vielen Dank im Voraus

Answer 1

Reflexivität:

(a,b)∼ (a, b) stimmt, weil a =a ∧b ≤ b)

Symmetrie

wird widerlegt durch

(1,2) ∼ (3,4) stimmt, aber nicht (3,4) ∼ (1,2)

Transitivität

z.z.: (a,b)∼ (c, d) und (c, d)∼ (e, f)  Dann (a,b)∼ (e, f)

Bew

(a,b)∼ (c, d) heißt (a <c) ∨ (a = c ∧ b ≤ d)

(c, d)∼ (e, f) heißt (c <e) ∨ (c = e ∧ d ≤ f)

beides heißt: e=c=a ∨ e=c>a, b ≤d ≤ f    qed.

(a <c) ∨ (a = c ∧ b ≤ d) ist (x1 < y1) ∨ (x1 = y1 ∧ x2 ≤ y2) fur  x1, x2, y1, y2 ∈ N, mit neuen Buchstaben.

(a <c) ∨ (a = c ∧ b ≤ d) ⇔(a <c) ∨ (a = c)     ∧       (a <c) ∨ ( b ≤ d)    wegen A∪(B∩C)= (A∪B) ∩ (A∪C)

                                      ⇔ (a ≤ c)                 ∧                      ( b ≤ d)

Comments

Danke erstmal.

Die nicht vorhandene Symmetrie kann ich ja mit einem Gegenbeispiel zeigen, aber wie kann ich die Identitivität formal beweisen?

Für die Transitivität, wie kommt man zu dem Ausdruck unten. Durch einfaches Ausklammern hat es bei mir nicht funktioniert.

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wurde ergänzt, s.o.