Grenzwerte " Querbeet"

Question

So hier die letzten Grenzwert, wo ich mir nicht sicher bin:

$$a)\quad \quad \quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 3 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } -\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  }  } \quad \quad (Erw.\quad 3.Binom\quad ?),\quad lsg=3\quad (wolfram\_ alpha)\\ \quad \quad \\ \\ b)\quad \quad \quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( { a }_{ n } \right)  } für\quad eine\quad rekursiv\quad def\quad Folge\quad \left( { a }_{ n } \right) :\quad \quad \quad { a }_{ n+1 }\quad =\quad \sqrt { 4{ a }_{ n }-3 } \\ \\ \quad \quad \quad \quad \quad es\quad ist\quad kein\quad Startwert\quad gegeben,\quad es\quad kommen\quad dann\quad ja\quad zwei\quad mögliche\quad Grenzwerte\quad raus\quad ?!\\ \\ \\ c)\quad \quad \quad \lim _{ x\rightarrow 0+ }{ \frac { x\quad sinx }{ { e }^{ x }\quad cosx\quad -x\quad -1 }  } (\quad l'hospital?)\\ \\ \\ d)\quad \quad \quad \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \left( \frac { 5\quad (n-1) }{ n(n-\sqrt { { n }^{ 2 }-n } ) }  \right)  } ;\quad lsg:\quad 10\quad ich\quad kann\quad hier\quad die\quad Rechnung\quad nicht\quad nachvollziehen!\\ \\ \\ \\ $$

Auch für tipps Bin ich sehr dankbar ^^

Comments

https://www.mathelounge.de/512716/grenzwert-bestimmen-bruch-und-wurzel.

Answer 1

                      Aufgabe d)

Comments

Füge Mal nachher mal  meine Versuche von a-c hier an, danke für die Hilfe!

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zu c)

$$\lim _{ x\rightarrow 0+ }{ \frac { x\quad sinx }{ { e }^{ x }\quad cosx\quad -x\quad -1 }  } \left[ =\frac { ''0'' }{ 0 }  \right] =\lim _{ x\rightarrow 0+ }{ \frac { sinx\quad +\quad x\quad cosx }{ { e }^{ x }\quad cosx\quad +\quad { e }^{ x }\quad (-sinx)\quad -1\quad  }  } \left[ =\frac { ''0'' }{ 1+ }  \right] =\quad 0\quad $$

sieht falsch aus^^

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zu a)

$$\lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 3 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } -\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  }  } \quad =3\quad \cdot \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } -\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  } \cdot \frac { \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } +\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  }{ \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } +\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  } =3 } \cdot \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { { n }^{ 2 }+2n } +\sqrt { { n }^{ 2 }-8 }  }{ ({ n }^{ 2 }+2n)+({ n }^{ 2 }-8) }  } =3\cdot \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { \sqrt { { n }^{ 2 }(1+\frac { 2 }{ n } ) } +\sqrt { { n }^{ 2 }(1-\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } ) }  }{ { n }^{ 2 }((1+\frac { 2 }{ n } )+(1-\frac { 8 }{ { n }^{ 2 } } )) }  } =3\cdot \lim _{ n\rightarrow \infty  }{ \frac { { n }^{ 2 }( }{  }  } $$

weiter komme ich nicht..

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meine Berechnung zu a)

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Von Zeile 2 auf drei hab ich dann wohl versagt :-)