lineare Abbildung vektorraum

Question

Es sei V = K[X] der Vektorraum der Polynome über einem Körper K der Charakteristik 0.
Weiter sei D: V → V die Abbildung, die ein Polynom f =∑n i=0 aiX^i auf seine formale Ableitung
D(f)= ∑n−1i=0 (i+1)ai+1X^i abbildet.

a)Zeigen Sie, dass D eine lineare Abbildung ist.

b)Zeigen Sie, dass D surjektiv ist und schlussfolgern Sie, dass D einen Isomorphismus
D:V/Kern(D)→V induziert.

kann jmd. mir vil. paar Tipps zu der Aufgabe geben?

MfG

Answer 1

a) Zeige dass

    D(∑_i=0..n a_iXⁱ + ∑_i=0..m b_iXⁱ) = D(∑_i=0..n a_iXⁱ) + D(∑_i=0..m b_iXⁱ)

und

    D(c·∑_i=0..n a_iXⁱ) = c·D(∑_i=0..n a_iXⁱ)

ist.

b) Zeige dass D(F) = f ist, wenn F eine formale Stammfunktion von f ist. Zeige insbesondere auch, dass eine formale Stammfunktion tatsächlich existiert.

Kern(D) = {aX⁰ ∈ K[X] | a ∈K}. Ist f ∈ K[X] und g ∈ Kern(D), dann ist D(f+g) = D(f).