Guten Morgen.
Leider sitze ich zurzeit an einer Aufgabe, bei der ich nicht so wirklich weiß, wie ich anfangen soll.
Aufgabe:
$$\text{ Sei } v = (v_1,...,v_d) \in \mathbb{R}^d \text{ und }\\\quad \quad \quad \quad \quad f_v: (\mathbb{R}^d,||.||_2) \rightarrow (\mathbb{R},|.|)\\\quad \quad \quad \quad \quad x = (x_1, ...,x_d) \rightarrow \sum \limits_{k=1}^{d}v_kx_k\\\text { Zu zeigen ist, dass } f_v \text{ eine stetige lineare Abbildung ist und dass } ||.||_2 \text { eine Operatornorm von } f_v \text { ist. } $$
Problem/Ansatz:
1. Ich habe mir überlegt, die Linearität (durch Additivität und Homogenität) zu zeigen und anschließend mit der ε-δ-Definition die Stetigkeit zu beweisen. Gibt es da nicht eine einfachere Vorgehensweise? Leider habe ich online dazu nicht wirklich was gefunden.
2. Reicht das aus, wenn ich für die Operatornorm die Eigenschaften dieser zeige (Submultiplikativität, ...)?
Vielen Dank!
