Differentialgleichung von komplexen Zahlen

Question

Gegeben seien z1 = 3+4i. Geben Sie eine lineare, homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten an, dessen Lösung durch x(t) = Ae^{z1 t}+ A*e^{z1* t} gegeben ist. 

Bin für jeden Lösungsansatz dankbar. * meint komplex konjugiert.

Comments

Steht da wirklich \( x(t) = A e^{z_1 t} +A e^{z_1 t} \) Müssen die Exponenten nicht verschieden sein? Und steht auch wirklich zweima \( A \) vor der Exponentialfunktion.?

---

Da steht: " * meint komplex konjugiert. " 

Aber zum A steht da nichts. 

---

Ok, dann gilt die Antwort unten auch, mit \( z_2 = \overline{z_1} = 4 - 4i \) und \( B = A \)

Answer 1

Hi,

angenommen die Lösung sollte \( x(t) = A e^{z_1 t} + B e^{z_2 t} \) lauten. Dann kann man annehmen, das dies eine Lösung einer gew. DGL 2-ter ist, die so aussieht.

$$ \ddot x(t) +a \dot x(t) + b x(t) = 0   $$ Die charakteristische Gleichung lautet

$$ \lambda^2 + a \lambda + b = 0 $$ und muss die Nullstellen \( z_1 \) und \( z_2 \) haben. Also muss gelten

$$  \lambda^2 + a \lambda + b = ( \lambda - z_1) (\lambda -z_2) $$

Daraus folgt \( a = -(z_1 + z_2) \) und \( b = z_1 z_2 \)

Die DGL lautet also

$$ \ddot x(t) - (z_1 + z_2) \dot x(t) + z_1 z_2 x(t) = 0 $$ und hat die geforderte Lösung. Sollte man aber nochmal durch nachrechnen prüfen.