Berechne die Seiten und Winkel ẟ des Dreiecks BCJ im Würfel und Wie lang ist die Höhe hc des Dreiecks BCJ?

Question

Ich verstehe folgende Aufgabe nicht: a) Berechne die Seiten und Winkel ẟ des Dreiecks BCJ im Würfel b) Wie lang ist die Höhe hc des Dreiecks BCJ?

Ich kann diese räumlichen Aufgaben wirklich gar nicht, könnte mir vielleicht jemand helfen, wäre super nett, LG Sinan :) 

Comments

gegeben ist a mit 10cm?

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Ja genau  und wir wissen, dass "J" der Mittelpunkt der Fläche ist

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 @Antoooooon kannst Du mir vielleicht helfen, wäre sehr nett 

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Hallo Sinan,

Ich knobel gerade mit! ;) 

Sobald ich was gefunden habe, werde ich es mitteilen!

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Ah okay super, vielen Dank :D

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Die Höhe von J auf a kann man über den Pythagoras errechnen (seht ihr das Dreieck, das ich meine) und ist h^2 = (a/2)^2 + a^2.

Der Rest sollte dann recht einfach sein (Das Dreieck BCJ ist ja gleichschenklig) ;).

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@Sinan,

Du kannst die Mitte des Vierecks wo der Punkt J liegt so berechnen:

d=a*√2

d=10*√2

d=14,14cm

Der Mittelpunkt liegt in der Hälfte:

14,14/2=7.07cm

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Ehh ok, welche Seite ist jetzt 7,07 cm lang?

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@Unknown, da ich räumliches denken so gaarnicht kann, glaube ich verstehe ich das nicht was du sagst, ich verstehe, dass man von a zu J die Höhe ziehen kann und das man theoretisch mit dem Pythagoras rechnen kann aber wir haben doch nur a/2 gegeben, die Strecke BJ und die höhe h sind doch nicht gegeben oder meinst du ein anderes dreieck? xD

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Kann es sein, dass hc dann 10cm groß ist? 

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Das habe ich auch schon überlegt aber ich bin in räumlichen denken so schlecht, da ich gedacht habe, dass das eh nicht stimmt :D

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Würde ich jetzt auch sagen. Vielleicht zwei Dumme ein Gedanken?

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Hahaha ja kann sein xD, aber ich verzweifle an dieser Aufgabe, ich will die halt verstehen, weil ich am Donnerstag eine Arbeit über Trigonometrie und das räumliche usw, schreibe also hoffe ich mal, dass jemand mir die Aufgabe erklären und vielleicht vorrechnen kann, sodass ich es dann verstehe.

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Ich kann dir ja mal sagen was ich denke:

Punkt J liegt ja in der Mitte der Seite:

d=a*√2

d=10*√2

d=14,14cm

Der Mittelpunkt liegt in der Hälfte:

14,14/2=7.07cm

Ich dachte jetzt das damit BJ und CJ 7.07cm wären.

hc = √(4*7.07^2-10^2 )/4

hc=5cm

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Wie kommt ihr denn auf 7,07 cm? Das trifft zumindest nicht auf das h zu, von dem ich spreche :P.

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Achso okay danke, ich werde mal versuche mal ob ich weiter komme, wenn irgendjemand sie komlett lösen kann würde ich mich freuen wenn er es mir schreibt :)

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@Unknown sprichst du von der Strecke BJ Und CJ?

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@Antooooon: Nein von der Strecke dazwischen. Die J mit dem Mittelpunkt der Seite a verbindet ;).

@Sinan: Vielleicht hilft Dir meine Antwort weiter? ;)

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@Unknown, Ja aber wie schon gesagt, Ich verstehe das nicht was du sagst, ich verstehe, dass man von a zu J die Höhe ziehen kann und das man theoretisch mit dem Pythagoras rechnen kann aber wir haben doch nur a/2 gegeben, die Strecke BJ und die höhe h sind doch nicht gegeben oder meinst du ein anderes dreieck? xD

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Hast Du meine Antwort gelesen? Und den Kommentar auf die Anmerkung von Antoon?

Bin gerade zeitlich etwas eingespannt. Eventuell kann ich später noch was skizzieren ;).

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Ja, habe deine Antwort gelesen, ja später wäre auch super! Ich habe diese Aufgabe bis Mittwoch auf also würde mich freuen wenn ich sie bis dahin gelöst bekomme, :)  

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Mit einer Skizze kann ich mir das nämlich auch besser vorstellen und weis was du meinst, wäre nett wenn das später noch möglich wäre :)

Answer 1

Hi,

ich würde erstmal die Höhe des innenliegenden gleichschenkligen Dreiecks berechnen.

Diese errechnet sich über:

h^2 = a^2 + (a/2)^2

h = 5√5 ≈ 11,18

(Stell Dir vor, dass Du um a/2 nach oben gehst und dann um a nach links (vom Mittelpunkt der Grundseite aus gesehen)).

Mit dieser Höhe und dem Wissen, dass das innenliegende Dreieck gleichschenklig ist, ist der Rest ein Klacks.

Berechne den Schenkel JC, indem Du wieder ein rechtwinkliges Dreieck anlegst. Diesmal hast Du a/2 und h als eine Grundseite. JC ist dann also:

JC^2 = h^2 + (a/2)^2

JC = 5√6 ≈ 12,25

Damit kannst Du den Rest berechnen: Der gesuchte Winkel sollte 48,12° haben (die anderen beiden 65,91°).

Für die gesuchte Höhe erhalte ich 9,13 cm.

Grüße

Comments

Hallo Unknown,

Der Abstand der schwarzen Linie zu J ist 7,07cm

Könnte man dieses Ergebnis nicht auf die beiden blauen Linien übertragen?

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Wenn wir in Raumkoordinaten (und Vektoren) arbeiten, dann wäre das hilfreich. Ohne diese, sehe ich hier aber keine großartige Anwendung ;).

Geh doch mal von J parallel zu AB nach rechts. Dann vom Durchstoßpunkt im Viereck BCFG um a/2 nach unten. Du solltest dann ein rechtwinkliges Dreieck erkennen, wo h eine Seite bilder (welche J mit der Seite BC verbindet) ;).

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Vielleicht hilft das weiter:

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Sehr schön. Danke Silvia.

@Sinan: Damit solltest Du meine Hinweise nachvollziehen können :). Probier dann mal den Rest alleine. Nutze die Formelsammlung.

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Der Rest ist auch recht einfach!

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Okay ich bin soweit jetzt gekommen wie du es gesagt hast aber dann weis ich nicht mehr weiter, ich weiß nicht, wie wir weiter rechnen können, da wir ja z.B das Teilstück IJ oder IB haben um ein kleineres Dreieck auszurechnen und weiter zu kommen ahhhhh diese räumlichen Aufgaben :(

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Wenn Du soweit gekommen bist, wie ich gesagt habe, wärst Du fertig :D.

Wie weit bist Du denn nun? Hast Du die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks sowie die Länge der Schenkel? Dann ist das kein räumliches Problem mehr, sondern einfach nur noch ein gleichschenkliges Dreieck, von dem wir die Höhe der Schenkel wissen wollen, sowie den oberen Winkel.

Formelsammlung hilft, wenn Du keine Dreiecke suchen willst ;).

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Das habe ich bis jetzt 

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Wie hast du den Winkel ausgerechnet und die Höhe "hc" ? hee 

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Sehr schöne Zeichnung :).

Also x_(1) ist zwar richtig errechnet, aber falsch eingezeichnet. Lass das Dreieck nicht bei B ankommen, sondern auf dem Mittelpunkt zwischen B und C.

Dann schau dir die Skizze nochmals an. Dann sollte es deutlich einfacher werden. So kann man wahrlich nicht viel mit anfangen ;).

(Also Zahlenwerte stimmen alle, nur Skizze passt nicht)

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Danke, warum zwischen B und C? ich verstehe es nicht...

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Unknown, ich mag falsch liegen, aber ich glaube, dass nicht die Höhe des Gesamtdreiecks gemeint ist. In seinem Buch ist h_c   nicht als die Höhe des Gesamtdreiecks.

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Ja genau, "hc" ist doch Orange eingezeichnet im Buch bei mir 

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Ich denke, dass Unknown die blau-markierte Höhe ausgerechnet hat, wobei die orange-markierte gemeint ist

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@Anton: Es scheint die Höhe zugehörig zu den Schenkel gefragt zu sein. So habe ich gerechnet.

@Sinan: Finde die Strecke zwischen B und C. Da hast Du eine Würfelkante a. Ungefähr bei dem von Dir geschriebenen a ist der Mittelpunkt der Strecke. Verbinde x_(1) damit.

Siehe auch bei Silvia. Sie hat eine sehr schöne Skizze erstellt.

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@Anton: Genau. von der blauen Höhe spreche ich die ganze Zeit. Das ist der erste Schritt. Wenn man die hat, ist der Rest leicht.

Lest bitte auch die eigentliche Antwort...

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Wir wissen also wie lang Strecke CJ, BJ, Würfelkante a und die Höhe?

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Nehmen wir an, ihr habt die blaue Linie, die Antooon gerade gezeichnet hat errechnet. Und Sinan hat wohl auch schon die Schenkellänge berechnet, dann könnt ihr in der Formelsammlung nachschauen. Da steht, dass sich die Höhe h_(c) ergibt zu:

h_(c) = 2A/c

Und A ergibt sich aus

A = h_(a)*a/2 (wobei h_(a) bei uns h heißt und die blaue Linie ist)

A = 11,18*10/2 = 55,90

h_(c) = 2A/c = 2*55,90/12,25 = 9,13

Das wars schon und genau was ich prophezeit hatte :)

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Meinst du das blaue eingezeichnete Dreieck @Unknown?

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Das hier............

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heeeeee ich checke gar nichts mehr xD 

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Atme nochmals durch.

1. Nimm den ersten Post von mir -> Wir errechnen das blaue h.

2. Dann errechnen wir die Schenkel (siehe ebenfalls erster Post)

3. Gehe in meinen drittletzten Post. Da habe ich aus der Formelsammlung abgeschrieben und die Werte eingesetzt, die wir haben.

4. Fertig (bzw. noch kurz die Winkel errechnen)

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Bei mir hats Klick gemacht! :)

h_c=√((4*12.25^2-10^2)/4))

h_c=9.129cm 

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Und wie errechnen wir damit die orangene linie hc und oder den Winkel Delta oben

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@Sinan: Hast Du durchgeatmet und die Liste abgearbeitet?

Dann wüsstest Du wie das mit der orangenen Linie zu errechnen ist...

Den Winkel hatte ich bisher ignoriert. Erledigen wir erstmal h_(c)...

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Ich beziehe mich auf das linke Teildreieck des gleischenkligen Dreiecks:

tan(δ)=5/11.18

δ=arctan(5/11.18)

δ=24.1 Grad

Das ist aber nur die Hälfte vom Winkel also:

24.1*2=48.19 Grad für Delta

(falls hc abgearbeitet ist)

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Also den Winkel habe ich verstanden

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@Unknown ich verstehe das mit der Formel einfach nicht, deswegen verstehe ich das mit hc nicht

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Wenn Du mal mit dem Finger drauf zeigen könntest?! Welche Formel?

Die ist doch nur aus der Formelsammlung.

Wir können es auch herleiten, wenn Du möchtest. Aber das ist unnötig, wenn Du eine Formelsammlung vorliegen hast.

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Ich raffe das gerade auch nicht Sinan, ich muss es nur annehmen.

Wir haben ja das Dreieck mit JC= 12.25cm und JB=12.25cm und a=10cm
Ich habe dann mal in meiner Formelsammlung rumgesucht:

hc = √( 4*a²-c²)/4

In deinem Beispiel

a,b=JC,JB

c=a

einsetzen:

h_c=√((4*12.25^2-10^2)/4)) 

h_c=9.129cm

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Ich finde diese Formel nicht bei mir in der Formelsammlung und wenn ich es in den Taschenrechner eingebe kommt bei mir was anderes raus

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Du solltest sie unter dem Abschnitt "gleichschenkliges Dreieck" und dann unter "Flächeninhalt" finden ;).

(TR: Klammern richtig gesetzt?)

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Hier ein vielleicht (für dich) nachvollziehbarer Rechnungsweg:

h_c = a*sin(δ)

h_c =12.25*sin(48.19) 

h_c=9,13cm

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@Sinan 

hast du es verstanden?

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Ja ich habe es jetzt verstanden, zwar nicht durch die Formeln aber durch einen Freund, der hat es mir bisschen anders mit sinus cosinus usw. rechnen gezeigt :)

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ja mich auch :D Danke nochmals an ALLE für eure Hilfe!!!

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Freut mich. Persönlich war es dann vllz doch besser :). Aber gut, dass du dran geblieben bist! :)

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Ja hat sich jetzt auch gelohnt :)

Answer 2

Vorderansicht des Würfels ist ABEH

Hinteransicht des Würfels ist DCFG

1.)

(J und K sind die jeweiligen Mitten der Kanten des Würfels)

Berechnung der Strecke I K ( rotes Dreieck) mit dem Satz des Pythagoras:

\(I K= \sqrt{(JK)^2+(IJ)^2} \)  ( I ist der Diagonalenschnittpunkt der linken Seitenfläche ADGH des Würfels.)

\(I K= \sqrt{(10)^2+(\frac{10}{2})^2}= \sqrt{125}=5\sqrt{5} \)

2. ) Berechnung des Winkels BIC des blauen gleichschenkligen Dreiecks:

\(\tan(BIK)= \frac{BK}{IK}=\frac{5}{5\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1}{5}\sqrt{5} \)

Der halbe Winkel von BIC ist nun \(\tan^{-1} (\frac{1}{5}\sqrt{5})=24,09°\)

Somit ist der ganze Winkel bei I \(48,18°\)

Der Winkel CBL hat eine Größe von\(  \frac{180°-48,18°}{2}=65,91° \)

3.)Länge der Strecke CL (grün): \(\sin(65,91°)= \frac{CL}{10} \)

\(CL≈9,129\)