Unter welchem Winkel fällt der Ball zu Boden?

Question

ein Ball wird von einem 45m hohen Turm in waagrechter Richtung weggeworfen. Er trifft 15m vom Turm entfernt auf dem Boden auf. Die Wurfbahn kann durch eine quadratische Funktion modelliert werden, die am Anfangspunkt einen Hochpunkt hat

Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Ball auf den Boden trifft. 

Als Funktion hätte ich nun f(x)=45-0,2x² modelliert. Und wie berechne ich nun den Winkel? 

Answer 1

ein Ball wird von einem 45m hohen Turm in waagrechter Richtung weggeworfen.

h ( 0 ) = 45
h ´( 0 ) = 0  ( waagerecht )

Er trifft 15m vom Turm entfernt auf dem Boden auf.
h ( 15 ) = 0

Die Wurfbahn kann durch eine quadratische Funktion modelliert werden, die am Anfangspunkt einen Hochpunkt hat

Berechnen Sie den Winkel, unter dem der Ball auf den Boden trifft.

Als Funktion hätte ich nun f(x)=45-0,2x² modelliert.
Und wie berechne ich nun den Winkel?

f(x) = -0,2·x² + 45
f ´ ( x ) =  - 0.4 * x

f ´( 15 ) = -0.4 * 15 = 6
tan ( alpha ) = 6
alpha = 80.5 °

Comments

Danke Georg aber ich muss gestehen, dass ich das noch nicht ganz verstehe warum ich den Winkel so berechne. 

Könntest du mir das bitte etwas genauer erklären? 

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Die Rechnung ist ohnehin falsch, von der eigenwilligen Darstellung mal abgesehen. Dürfte also schwer werden, das zu verstehen.

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Also in meinem Lösungsheft steht ein Winkel mit - 80,5 Grad. So weit von der richtigen Lösung dürfte es ja in diesem Fall nicht weg sein? :-) 

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O wei...

                                            .

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Kommst du in diesem Fall auf ein anderes Ergebnis?

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Georg hat einen Vorzeichenfehler:

>  f ´( 15 ) = -0.4 * 15 = - 6   →  tan (α) = - 6   →  α = - 80,5 °

Die Antwort "Der Ball trifft unter dem Winkel 80,5° auf dem Boden auf"  ist also durchaus nicht falsch.

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Ich schrieb auch: "Die Rechnung ist... falsch"!

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Danke Wolfgang!

Soll heißen ich kann in solchen Fällen einfach die Formel m=f'(x) =tan α verwenden? 

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So ist es.

Das Minuszeichen bedeutet dann ggf. lediglich, dass der Winkel mit der positiven Richung der             x-Achse im Uhrzeigersinn anzutragen ist.

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Korrektur
f ´( 15 ) = -0.4 * 15 = minus 6
tan ( alpha ) = - 6
Taschenrechnereinsatz
alpha = - 80.5 °
Ist mir eben beim Fernsehgucken
auch aufgefallen.

Der Tangens Δy / Δx im Koordinatensystem
ergibt sich zu
( Der Winkel wird immer entgegen dem
Uhrzeigersinn angegeben )
45 ° = 1 / 1 = 1 ( 1.Quadrant )
135 ° = 1 / -1 = -1 ( 2.Quadrant )
225 ° = -1 / -1 = 1 ( 3.Quadrant )
315 ° =  - 1 / 1 = -1 ( 4.Quadrant )

-80.5 ° auch 279.5 °

Answer 2

Als Funktion hätte ich nun f(x)=45-0.2*x^2 modelliert.
Und wie berechne ich nun den Winkel? 

Bis hier her ist das richtig. Den Winkel bekommst du mit

$$ \tan^{-1}\left(f'(15)\right) $$ (Taschenrechner auf DEG einstellen!)

Comments

f'(x)=-(2x/5)

f'(15)=-((2*15)/5)=-6

arcctan(-6)=-80.538°

Was ist genau dein Problem mit georgborns Antwort?

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Ich habe keine Probleme, aber deine Ableitung ist falsch!

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Ist korrigiert :)

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Na, so ist es doch richtig!

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Gibt es auch eine einfache Erklärung warum das so gemacht wird? Wäre froh drum :-) würds gern verstehen und nicht bloß abschreiben.