Exp. Wachstum; Ein Ball fällt aus 5m Höhe auf den Boden und springt dann mehrmals wieder auf. Ges: Aufprall Nr.

Question

Aufgabe:

Ein Ball fällt aus 5 m Höhe auf den Boden und springt dann mehrmals wieder auf. Bei jedem Aufprall verliert er 20% seiner mechanischen Energie (d.h. er springt auf 80% seiner vorangehenden Höhe zurück). Nach wie vielen Bodenkontakten erreicht der Ball erstmals nicht mehr eine Höhe von
a) 1 m? b) 10 cm? c) 1 cm? d) 1 mm?

Problem/Ansatz:

Exponentielles Wachstum/Zerfall (Abnahme)

Answer 1

5 * 0.8^n = 1 --> n = 7.2 → Nach 8 Bodenkontakten

5 * 0.8^n = 0.1 → n = 17.5 → Nach 18 Bodenkontakten

5 * 0.8^n = 0.01 → n = 27.9 → Nach 28 Bodenkontakten

5 * 0.8^n = 0.001 → n = 38.2 → Nach 39 Bodenkontakten

Ist es übrigens Zufall oder Berechenbarkeit dass die Anzahl der Bodenkontakte immer um ca, 10 zunimmt?

Comments

Vilen Dank! Ihre Resultaten sind korrekt. Auf den Lösungsweg bin ich auch gekommen. Ich wusste nur nicht, dass ich so extrem aufrunden musste (!!I)
Es sind dennoch keine genaue Resultaten, was nicht gut ist, da noch Physik (Wurf) zu beachten ist.
Genauer wäre: k= [Ln(1/6) / Ln(0,8)] für (a) 1 [m] oder k= [Ln(1/56) / Ln(0,8)] für (b) 10 [cm], etc. mit (1/6) weiter rechnen… vermute ich
Resultaten: (a) 8 [Aufpralle] ; (b) 18 [Aufpralle] ; (c) 28 [Aufpralle] ; (d) 39 [Aufpralle]
Gruss

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Es gibt nicht mal 38.2 Aufpraller. Eine Dezimalangabe oder gar eine mathematisch exakte Angabe der Lösung der Gleichung ist tatsächlich überhaupt nicht nötig.

Wenn nach einer Anzahl an Farbeimern gefragt ist die zu kaufen sind und du bekommst 7.2 heraus dann müsstest du natürlich aufrunden und sagen es müssen 8 Eimer gekauft werden.

Hier ist nach Bodenkontakten gefragt und da gibt es nur 7 oder 8. Da 7 zu wenig sind muss man also 8 haben.

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Wie kann man es genauer berechnen?

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5 * 0.8^n = 1
0.8^n = 1/5
n = ln(1/5) / ln(0.8)

Jetzt kann man noch nur um zu zeigen das man cool ist Logarithmengesetze anwenden

n = - ln(5) / ln(4/5)
n = - ln(5) / (ln(4) - ln(5))
n = - ln(5) / (ln(2^2) - ln(5))
n = - ln(5) / (2 * ln(2) - ln(5))

Natürlich ändert es hier absolut nichts am Ergebnis das es eben genau 8 Bodenkontakte geben muss.