Zeigen Sie die folgende Abschätzung

Question

kann mir hier einer behilflich sein? Wäre echt lieb.

Zeigen Sie die folgende Abschätzung:

√1 +x ≥ 1 + x/2 − x²/8    für alle x∈[0,∞)

! :)
.

Comments

Überprüfe und korrigiere nochmals deine Klammersetzung. 

Habt ihr Taylorreihen gehabt? 

Answer 1

Vielleicht so: Für \(x\ge0\) definiere zunächst die Funktion \(h\) durch \(h(x)=x+\frac2{\sqrt{1+x}}\).
Für \(x>0\) ist \(h^\prime(x)=1-\frac1{\sqrt{(1+x)^3}}>0\), d.h. \(h\) ist monoton steigend.
Insbesondere gilt \(h(x)\ge h(0)=2\).

Definiere nun die Funktion \(f\) durch \(f(x)=x^2+8\sqrt{1+x}\) und wähle ein \(t>0\). Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung gibt es ein \(c\in(0,t)\) mit $$\frac{f(t)-f(0)}{t-0}=\frac{t^2+8\sqrt{1+t}-8}t=f^\prime(c)=2c+\frac4{\sqrt{1+c}}.$$Nach der Vorbemerkung gilt \(f^\prime(c)=2h(c)\ge4\), woraus die Behauptung folgt.